Kegelstumpf: Höhe, Volumen und Flächen berechnen
In diesem Lerntext erfährst du alles über den geometrischen Körper des Kegelstumpfs.
Was ist ein Kegelstumpf?
Der Kegelstumpf leitet sich vom geometrischen Körper des Kegels ab. Ein Kegel besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer Mantelfläche, die der Form eines Kreisausschnitts entspricht.
Ein Kegelstumpf hingegen ist ein Kegel, dessen Spitze weggeschnitten wurde. Daraus ergeben sich einige Unterschiede zur ursprünglichen Kegelform. So besitzt der Kugelstumpf neben der für Kegel typischen kreisförmigen Grundfläche auch eine kreisförmige Deckfläche und eine kürzere Kantenlänge. Die Deckfläche wird auch Schnittfläche genannt. Auch die Mantelfläche hat eine andere Form.
Größen im Kegelstumpf
Um Berechnungen am Kegelstumpf durchzuführen, stehen uns mehr Größen zur Verfügung als beim normalen Kegel. So unterscheiden wir beim Kegelstumpf den Radius der Grundfläche ($r_1$) und den Radius der Schnittfläche ($r_2$). Die Höhe ($h$) des Kegelstumpfs geht vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zum Mittelpunkt der Schnittfläche. Die Mantelfläche hat eine viereckige gebogene Form. Die Höhe der Mantelfläche ($m$) entspricht der Seitenlänge des Kegelstumpfs.
Grund- und Schnittfläche berechnen
Grund- und Schnittfläche sind kreisförmig. Um ihren Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die jeweiligen Radien $r_1$ und $r_2$.
Merke
Merke
Grundfläche berechnen
$A_{Grundfläche} = \pi \cdot (r_1)^2$
Schnittfläche berechnen
$A_{Schnittfläche} = \pi \cdot (r_2)^2$
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Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche eines Kegelstumpfs besitzt eine besondere Form. Man könnte sie als gebogenes Viereck beschreiben. Zur Berechnung der Fläche benötigen wir die Radien der Grund- und der Schnittfläche sowie die Höhe der Mantelfläche.
Merke
Merke
Mantelfläche berechnen
$A_M = (r_1 + r_2) \cdot \pi \cdot m$
Gut zu wissen
Hinweis
Zur Berechnung der Oberfläche des Kegelstumpfs werden Grund-, Schnitt und Mantelfläche addiert.
$O_{Kegelstumpf} = (\pi \cdot (r_1)^2) + (\pi \cdot (r_2)^2) + ((r_1 + r_2) \cdot \pi \cdot m)$
Höhe berechnen
Die Höhe eines Kegelstumpfs lässt sich mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Zusammen mit der Höhe der Mantelfläche ($m$) und der Differenz der Radien von Grund- und Schnittfläche bildet die Höhe ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem gilt:
$(r_1 - r_2)^2 + h^2 = m^2$
Stellen wir die Gleichung nach der Höhe um, erhalten wir die Formel zur Berechnung der Höhe eines Kegelstumpfs aus den Radien und der Höhe der Mantelfläche.
Merke
Merke
Höhe berechnen
$h = \sqrt[]{m^2 - (r_1 - r_2)^2}$
Volumen berechnen
Die Herleitung des Volumens des Kegelstumpfs ist sehr kompliziert. Es ist vor allem wichtig, dass du lernst die Formel zur Berechnung des Volumens richtig anzuwenden. Um das Volumen zu berechnen, benötigst du neben den Radien der Grund- und Schnittfläche auch die Höhe des Kegelstumpfs.
Merke
Merke
Volumen berechnen
$V_{Kegelstumpf} = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (~(r_1)^2 + r_1 \cdot r_2 + (r_2)^2)$
Wie du siehst, musst du viele Werte in die Gleichung einsetzen. Pass vor allem darauf auf, dass du wirklich die Radien und nicht die Durchmesser der Grund- und Schnittfläche einsetzt!
Beispiel
Beispiel
Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs, dessen Höhe $10~cm$ beträgt und dessen Grund- und Schnittfläche die Radien $r_1 = 12~cm$ und $r_2 = 6~cm$ besitzen.
$V_{Kegelstumpf} = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (~(r_1)^2 + r_1 \cdot r_2 + (r_2)^2)$
$V_{Kegelstumpf} = \frac{10~cm \cdot \pi}{3} \cdot ((12~cm)^2 + 12~cm \cdot 6~cm + (6~cm)^2$
$V_{Kegelstumpf} = \frac{10~cm \cdot \pi}{3} \cdot 252 cm^2$
$V_{Kegelstumpf} = 2638,93~cm^3$
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Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs, der folgende Größen besitzt:
$r_1 = 3~cm$
$r_2 = 1~cm$
$h = 5~cm$
Wie groß ist die Mantelfläche eines Kegelstumpfs, für den gilt:
$r_1 = 10~cm$
$r_2 = 7~cm$
$m = 9~cm$
?
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