Mathematik > Geometrie

Satz des Pythagoras - Textaufgabe mit Lösungen

Inhaltsverzeichnis:

Der Satz des Pythagoras ist nicht nur in Dreiecken hilfreich. Wir werden jetzt sehen, dass wir die eben gelernte Formel auch bei Vierecken anwenden können.

Beispielaufgabe

Schauen wir uns gemeinsam folgendes Problem an. Wir haben ein Viereck mit einer unbekannten Seitenlänge $b$.

Viereck mit zwei rechten Winkeln.
Viereck mit zwei rechten Winkeln.

Wie du in der Abbildung erkennen kannst, lässt sich das gegebene Viereck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerschneiden. Wie schon bei den Dreiecks-Aufgaben fehlt eine Seitenlänge des Vierecks. Die Seiten $a$, $c$ und $d$ sind gegeben. Um also $b$ zu berechnen reicht uns eigentlich das rechte Dreieck $BCD$. Allerdings fehlen uns in diesem Dreieck zwei Seitenlängen, nämlich die unbekannte Länge $b$ und die Länge der gezogen Trennlinie ($h$). Der Satz des Pythagoras bringt uns an dieser Stelle nicht weiter. Unsere einzige Möglichkeit ist zunächst das linke Dreieck zu betrachten. Auch hier ist die Länge der Trennlinie unbekannt. Im Gegensatz zur rechten Hälfte sind uns aber die beiden anderen Seitenlängen bekannt, sodass wir die Länge der Trennlinie ($h$) berechnen können.

Zerschnittenes Viereck.
zerschnittenes Viereck
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Lösungsweg

Berechnen wir also zunächst die Länge von $h$ im Dreieck $ABD$. Dieses Beispiel ist besonders einfach, da die gesuchte Länge die Hypotenuse ist, also dem rechten Winkel gegenüber liegt. Wir müssen den Satz des Pythagoras also gar nicht umstellen, sondern rechnen direkt mit den Quadraten der Katheten $a$ und $d$.

$a^2 + d^2 = h^2$

$(12 cm)^2 + (9 cm)^2 = h^2$

$225 cm^2 = h^2$    | $\sqrt[]{}$

$\sqrt[]{225cm^2} = h$

$h = 15 cm$

Wir kennen jetzt die Länge der Trennlinie $h$ und haben im rechten Dreieck $BCD$ nur noch eine unbekannte Seite. In diesem Fall ist die unbekannte Seitenlänge $b$ jedoch eine der Katheten, sodass wir den Satz des Pythagoras zunächst umformen müssen:

$b^2 + c^2 = h^2$    | $-c^2$

$b^2 = h^2 - c^2$     |$\sqrt[]{}$

$b = \sqrt[]{(15 cm)^2 - (5 cm)^2}$

$b \approx 14,14 cm$

Der Satz des Pythagoras kann also auch bei Vielecken (mehreckigen Figuren) angewendet werden. Das Prinzip ist dabei immer dasselbe: Wir zerlegen die Figur in möglichst wenige, rechtwinklige Dreiecke und rechnen dann nacheinander alle unbekannten Größen aus.

Merke

Merke

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Der Satz des Pythagoras kann also auch bei Vielecken (mehreckigen Figuren) angewendet werden. Das Prinzip ist dabei immer dasselbe: Wir zerlegen die Figur in möglichst wenige, rechtwinklige Dreiecke und rechnen dann nacheinander alle unbekannten Größen aus.

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