Suche
Kontakt
>
Mathematik > Geometrie

Höhensatz des Euklid verstehen und beweisen

Höhensatz des Euklid verstehen und beweisen! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

Der Höhensatz des Euklid gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie der Kathetensatz und der Satz des Pythagoras, befasst sich der Höhensatz mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken.

Gut zu wissen

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.

Was sagt der Höhensatz aus?

Wie der Name bereits vermuten lässt, benötigen wir die Höhe eines Dreiecks, um den Höhensatz anwenden zu können. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein Lot, das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Die Höhe teilt die Hypotenuse ($c$) in zwei Abschnitte $q$ und $p$.

Dreieck mit Höhe und Hypotenusenabschnitten q und p
Dreieck mit Höhe und Hypotenusenabschnitten q und p

Der Höhensatz bringt die Strecken $q$, $p$ und $h$ in ein Verhältnis. Er besagt, dass das Quadrat der Höhe genauso groß ist wie ein Rechteck mit den Seitenlängen $q$ und $p$.

Höhensatz
Höhensatz

Merke

Höhensatz

$h^2 = q \cdot p$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Beweis des Höhensatzes

Um den Höhensatz zu beweisen, benötigen wir den Satz des Pythagoras sowie die erste binomische Formel.

Gut zu wissen

Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$

1. Binomische Formel: $ (a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a \cdot b+ b^2$

Ein rechtwinkliges Dreieck wird durch das Einzeichnen der Höhe in zwei kleinere, rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Insgesamt können wir also drei rechtwinklige Dreiecke erkennen: Ein Dreieck mit den Seitenlängen $a, b, c$, ein Dreieck mit den Seitenlängen $h, p, a$ und ein Dreieck mit den Seitenlängen $h, b, q$.

Dreieck mit Höhe
Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe

Jedes dieser Dreiecke ist rechtwinklig und daher können wir jeweils den Satz des Pythagoras anwenden:

1. $\textcolor{blue}{a^2} + \textcolor{red}{b^2} = \textcolor{green}{c^2}$

2. $h^2 + p^2 = \textcolor{blue}{a^2}$

3. $h^2 + q^2 = \textcolor{red}{b^2}$

Außerdem können wir eine weitere Beziehung aufstellen:

  • $q + p = c$

Dies lässt sich auch als Quadrat schreiben:

  • $(q + p)^2 = c^2$

Mithilfe der ersten binomischen Formel können wir den Klammerterm $(q + p)^2$ auflösen.

$(q + p)^2 = c^2~~~~~|$1. bin. Formel

$q^2 + 2\cdot q \cdot p + p^2 = \textcolor{green}{c^2}$

Diesen neu hergeleiteten Ausdruck für $\textcolor{green}{c^2}$ können wir nun in die 1. Gleichung einsetzen.

$\textcolor{blue}{a^2} + \textcolor{red}{b^2} = \textcolor{green}{c^2}$

$\textcolor{blue}{a^2} + \textcolor{red}{b^2} = q^2 + 2\cdot q \cdot p + p^2$

Außerdem können wir $\textcolor{blue}{a^2}$ und $\textcolor{red}{b^2}$ jeweils durch den linken Term der 2. und 3. Gleichung ersetzen.

$\textcolor{blue}{a^2} + \textcolor{red}{b^2} = q^2 + 2\cdot q \cdot p + p^2~~~~~|h^2 + p^2 = \textcolor{blue}{a^2}$

$h^2 + p^2 + \textcolor{red}{b^2} = q^2 + 2\cdot q \cdot p + p^2~~~~~|h^2 + q^2 = \textcolor{red}{b^2}$

$h^2 + p^2 + h^2 + q^2 = q^2 + 2\cdot q \cdot p + p^2$

Diese neu aufgestellte Gleichung vereinfachen wir nun so weit wie möglich.

$2 \cdot h^2 + p^2 + q^2 = q^2 + 2\cdot q \cdot p + p^2~~~~~|-p^2$

$2 \cdot h^2 + q^2 = q^2 + 2 \cdot q \cdot p~~~~|-q^2$

$2 \cdot h^2 = 2 \cdot q \cdot p~~~~|:2$

$h^2 = q \cdot p$

Nach dem Vereinfachen erhalten wir den Höhensatz des Euklid.

Beispielrechnung 

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du den Höhensatz des Euklid anwenden kannst. 

In unserem Beispiel hast du die Höhe $h = 8 cm$ und $q =2 cm$ gegeben. Nun kannst du den Höhensatz $h^2 = p \cdot q$ verwenden, um den fehlenden Wert für $p$ zu berechnen. Dafür setzt du zunächst die gegebenen Werte $h$ und $q$ in die Gleichung des Höhensatzes ein und erhältst: $8^2 = p \cdot 2$.

Im nächsten Schritt löst du die Gleichung mittels Termumformung nach $p$ auf und es ergibt sich folgende Gleichung: $8^2:2=p$. Wenn wir diesen Term nun vereinfachen, ergibt sich $64:2=p$ und das ist 32. Das bedeutet, dass $q$ eine Länge von $32 cm$ hat. 

Um nun noch einmal zu prüfen, ob deine Rechnung stimmt, setzt du $h$, $p$ und $q$ in den Höhensatz ein:

$(8cm)^2=2cm\cdot 32cm$

$64 cm=64 cm$

Da bei deinem Ergebnis auf beiden Seiten der Gleichung ein identisches Ergebnis herauskommt, ist deine Berechnung des Abschnitts $p$ richtig gewesen.

Nun hast du einen detaillierten Überblick über die Herleitung und Anwendungsmöglichkeiten des Höhensatz des Euklid bekommen. Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Wie lautet der Höhensatz des Euklid?

Teste dein Wissen!

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 12 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 3 cm, also p = 3 cm. Wie lang ist die Strecke $q$ ?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

In wie viele Abschnitte unterteilt die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks die Hypotenuse?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 9 cm. Der Hypotenusenabschnitt $~q~$ hat eine Länge von 4 cm.

Wie lang ist die Hypotenuse $~c~$ ?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

13.03.2024
Es ist bereits unser zweites Kind was den Studienkreis in Osnabrück besucht. Wir haben früher angefangen und nicht erst lange Zeit verloren. Dadurch wird dem Thema Schule und Familienleben der Stress genommen. Es ist einfach gut wie die Unterstützung im Studienkreis für Schulkinder ist. Haben Sie Geduld. Wenn es schon sehr wackelig ist mit dem Wissen in einem Fach, wird nicht sofort alles gut. Man ist als Eltern viel zu nah dran um als Lehrperson auch noch dieses Thema zu bespielen. Lassen Sie das Menschen machen die nicht Mama und Papa sind. Das hilft am besten! Vor allem der Beziehung zu Ihrem Kind
12.03.2024 , von Katayun B.
Immer ansprechbar und hilfsbereit
11.03.2024 , von Patrick F.
Gute Beratung, Probleme werden mit den Eltern und dem Schüler gemeinsam besprochen, kleine Gruppen bei der Nachhilfe
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7836