Kegel: Oberfläche und Volumen berechnen

Mantelfläche eines Kreiskegels

Die Mantelfläche entspricht dem Ausschnitt $b$ eines Kreises mit dem Radius $s$. Die Oberfläche dieses gedachten Kreises ist beschrieben durch:

$A_{großer~Kreis} = \pi \cdot s^2$

Mantelfläche eines Kreiskegels.

Der Umfang des Kreisausschnittes $b$ entspricht dem Umfang der Grundfläche.

$U_{b} = 2 \cdot \pi \cdot r$

Der Umfang des gedachten Kreises, dessen Kreisausschnitt die Mantelfläche ist, ist beschrieben durch:

$U_{großer~Kreis} =2 \cdot \pi \cdot s$

Setzen wir den Umfang, den der Kreisausschnitt, abdeckt in ein Verhältnis mit dem des großen Kreises erhalten wir folgendes:

 $\frac{Umfang~des~Kreisausschnittes}{Umfang~des~gesamten~Kreises} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{2 \cdot \pi \cdot s} = \frac{r}{s}$

Der Bruch $\frac{r}{s}$ gibt den Anteil des Kreisausschnittes an. Setzen wir diesen Term vor die Formel zur Flächenberechnung des großen Kreises, erhalten wir die Fläche des Kreisausschnittes, also die Mantelfläche:

$A_{großer~Kreis} = \pi \cdot s^2$

$A_{Mantelfläche} = \frac{r}{s} \pi \cdot s^2 = \pi \cdot r\cdot s$

Für den Fall, dass die Seitenlänge $s$ nicht in der Aufgabe gegeben ist, kannst du sie mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Der Radius, die Höhe und die Seitenlänge bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Seitenlänge $s$ ist.

$r^2 + h^2 = s^2$

$s= \sqrt[]{r^2 + h^2}$

Oberfläche eines Kreiskegels

Die Oberfläche des Kreiskegels ist die Summe aus Grund- und Mantelfläche.

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels berechnet sich analog zum Volumen einer Pyramide. Neben dem Radius benötigst du beim Errechnen des Volumens die Höhe.

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