Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Geometrische Körper Kegel: Oberfläche und Volumen berechnen

Kegel: Oberfläche und Volumen berechnen

Der Kreiskegel ist ein geometrischer Körper, der wie eine Mischung aus einem Zylinder und einer Pyramide aussieht. Er besitzt eine kreisrunde Grundfläche wie der Zylinder und eine Spitze wie die Pyramide. Die Spitze des Kegels befindet sich genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Die Mantelfläche ist ein Kreisausschnitt. Wichtige Maße des Kegels sind der Radius $r$ und der Umfang $U$ der Grundfläche, die Höhe $h$ und die Seitenlänge $s$.

Aufbau eines Kreiskegels.
Aufbau eines Kreiskegels.

Grundfläche eines Kreiskegels

Die Grundfläche eines Kegels berechnen wir wie die Fläche eines normalen Kreises. Für diese Rechnung benötigen wir also lediglich den Radius.

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Umfang und Fläche der Grundfläche

$U_{G} = 2 \cdot \pi \cdot r$

$A_{G} = \pi \cdot r^2$

Beispiel

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Wie groß sind der Umfang und die Grundfläche eines Kegels mit dem Radius $r = 6~cm$?

$U_{G} = 2 \cdot \pi \cdot 6~cm \approx 37,7~cm$

$A_{G} = \pi \cdot (6~cm)^2 \approx 113,1~cm^2$

Mantelfläche eines Kreiskegels

Die Mantelfläche entspricht dem Ausschnitt $b$ eines Kreises mit dem Radius $s$. Die Oberfläche dieses gedachten Kreises ist beschrieben durch:

$A_{großer~Kreis} = \pi \cdot s^2$

Mantelfläche eines Kreiskegels.
Mantelfläche eines Kreiskegels.

Der Umfang des Kreisausschnittes $b$ entspricht dem Umfang der Grundfläche.

$U_{b} = 2 \cdot \pi \cdot r$

Der Umfang des gedachten Kreises, dessen Kreisausschnitt die Mantelfläche ist, ist beschrieben durch:

$U_{großer~Kreis} =2 \cdot \pi \cdot s$

Setzen wir den Umfang, den der Kreisausschnitt, abdeckt in ein Verhältnis mit dem des großen Kreises erhalten wir folgendes:

 $\frac{Umfang~des~Kreisausschnittes}{Umfang~des~gesamten~Kreises} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{2 \cdot \pi \cdot s} = \frac{r}{s}$

Der Bruch $\frac{r}{s}$ gibt den Anteil des Kreisausschnittes an. Setzen wir diesen Term vor die Formel zur Flächenberechnung des großen Kreises, erhalten wir die Fläche des Kreisausschnittes, also die Mantelfläche:

$A_{großer~Kreis} = \pi \cdot s^2$

$A_{Mantelfläche} = \frac{r}{s} \pi \cdot s^2 = \pi \cdot r\cdot s$

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Mantelfläche

$A_{M} = \pi \cdot r\cdot s$

Für den Fall, dass die Seitenlänge $s$ nicht in der Aufgabe gegeben ist, kannst du sie mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Der Radius, die Höhe und die Seitenlänge bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Seitenlänge $s$ ist.

$r^2 + h^2 = s^2$

$s= \sqrt[]{r^2 + h^2}$

Beispiel

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Wie groß ist die Mantelfläche eines Kegels mit dem Radius $r = 4~cm$ und der Höhe $h = 10~cm$

Da in der Aufgabenstellung keine Angabe über die Seitenlänge $s$ gemacht wird, die wir für die Berechnung der Mantelfläche benötigen, müssen wir diese zunächst mit Hilfe des Satz des Pythagoras ausrechnen:

$s= \sqrt[]{r^2 + h^2} = \sqrt[]{16~cm^2 + 100~cm^2} \approx 10,77 cm$

Jetzt können wir die Mantelfläche berechnen.

$A_{M} = \pi \cdot r\cdot s = \pi \cdot 4~cm \cdot 10,77~cm \approx 135,3~cm^2$

Oberfläche eines Kreiskegels

Die Oberfläche des Kreiskegels ist die Summe aus Grund- und Mantelfläche.

Merke

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Oberfläche

$O_{Kegel} = G + M = (\pi \cdot r^2) + (\pi \cdot r\cdot s)$

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels berechnet sich analog zum Volumen einer Pyramide. Neben dem Radius benötigst du beim Errechnen des Volumens die Höhe.

Merke

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Volumen

$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot Grundfläche~\cdot Höhe = \frac{1}{3} \cdot (\pi \cdot r^2) \cdot h$

Beispiel

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Wie groß ist das Volumen eines Kegels mit dem Radius $r=5~cm$ und der Höhe $h= 9~cm$?

$V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot (\pi \cdot r^2) \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\pi \cdot (5~cm)^2) \cdot 9~cm \approx 235,6~cm^3$

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