Suche
Kontakt

Kugelsegment und Kugelausschnitt
Mathematik > Geometrie

Kugelsegment und Kugelausschnitt! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem Kugelsegment und dem Kugelausschnitt.

Was ist ein Kugelsegment?

Das Kugelsegment ist der Teil einer Kugel, der entsteht, wenn die Kugel von einer Ebene geschnitten wird. Man könnte auch sagen, dass die Kugel an einer bestimmten Stelle abgeschnitten wird. Das kleine abgeschnittene Stück ist das sogenannte Kugelsegment.

Kugelsegment
Kugelsegment

Wie du in der Abbildung sehen kannst, besteht das Kugelsegment aus einer kreisrunden Grundfläche mit einem Radius $a$. Den Radius des Kugelsegments musst du dabei unbedingt vom Radius $r$ der ganzen Kugel, von der das Segment abgeschnitten wurde, unterscheiden. Über dieser Grundfläche spannt sich eine Kuppel, die man auch Kugelhaube nennt. Der größte Abstand zwischen Grundfläche und Kugelhaube ist die Höhe $h$ des Kreissegments.

Gut zu wissen

Die Halbkugel ist eine Sonderform eines Kugelsegments, bei der der Kreismittelpunkt auf der Grundfläche liegt.

Um Volumen und Oberfläche des Kugelsegments zu berechnen, müssen wir die drei genannten Größen ($r$, $a$ und $h$) kennen. Dabei sind diese Größen nicht unabhängig voneinander, ihr Verhältnis ist durch eine einfache Formel beschrieben:

$r^2 = (r - h)^2 + a^2$

Oberfläche eines Kugelsegments berechnen

Merke

$O_{Kugelsegment} = \pi \cdot (2 \cdot r \cdot h + a^2)$

Beispiel

Berechne die Oberfläche eines Kugelsegments, für das folgendes gilt:

$r ~= 9~cm$

$h ~= 3~cm$

$a ~= 5~cm$

$O_{Kugelsegment} = \pi \cdot (2 \cdot r \cdot h + a^2) = \pi \cdot (2 \cdot 9~cm \cdot 3~cm + 25~cm^2) \approx 248,19~cm^2$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen

Volumen eines Kugelsegments berechnen

Merke

$V_{Kugelsegment} = \frac{h^2 \cdot \pi}{3} \cdot (3\cdot r - h)$

Beispiel

Berechne das Volumen des oben beschriebenen Kugelsegments.

$V_{Kugelsegment} = \frac{h^2 \cdot \pi}{3} \cdot (3\cdot r - h) = \frac{9~cm^2 \cdot \pi}{3} \cdot (3\cdot 9~cm - 3~cm) \approx 226,176cm^3$

Was ist ein Kugelausschnitt?

Unter einem Kugelausschnitt versteht man einen kegelförmigen Ausschnitt aus einer Kugel, der von der Oberfläche bis zum Mittelpunkt der Kugel geht.

Kugelausschnitt
Kugelausschnitt

In der zweidimensionalen Betrachtung (rechte Abbildung) sieht man, dass man den Kugelausschnitt in ein Kugelsegment und einen Kegel teilen kann.

Wichtige Größen sind die Höhe $h$ des Kugelsegments, der Radius $a$ der Grundfläche des Kugelsegments und des Kegels sowie der Radius $r$ der gesamten Kugel, der gleichzeitig die Kantenlänge des Kegels ist.

Oberfläche eines Kugelausschnitts berechnen

Merke

$O_{Kugelausschnitt} = \pi \cdot r \cdot (a + 2\cdot h)$

Beispiel

Berechne die Oberfläche für einen Kugelausschnitt, für den gilt:

$r = 8~cm$

$a = 4~cm$

$h = 3~cm$

$O_{Kreisausschnitt} = \pi \cdot r \cdot (a + 2\cdot h) = \pi \cdot 8~cm \cdot (4~cm + 2\cdot 3~cm) \approx 251,33~cm^2$

Volumen eines Kugelausschnittes berechnen

Merke

$V_{Kugelausschnitt} = \frac{2\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$

Beispiel

Berechne das Volumen des oben beschriebenen Kugelausschnittes.

$V = \frac{2\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h}{3} = \frac{2\cdot \pi \cdot 64~cm^2 \cdot 3~cm}{3} \approx 402,12~cm^3$

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Berechne die Oberfläche eines Kugelsegments mit folgenden Größen:

$r~=~8~cm$

$h~=~5~cm$

$a~=~2,5~cm$

Teste dein Wissen!

Berechne das Volumen eines Kreisausschnitts mit folgenden Größen:

$r~=~12~cm$

$a~=~5~cm$

$h~=~4~cm$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Berechne die Oberfläche eines Kreisausschnitts mit folgenden Größen:

$r~=~12~cm$

$a~=~5~cm$

$h~=~4~cm$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

In welche Körper lässt sich ein Kugelausschnitt teilen?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben?
Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Jetzt gratis anmelden & testen

Du brauchst mehr Hilfe?
Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

  • Lernvideos
  • Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
  • Hausaufgaben Live-Chat
Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Unsere Kunden über den Studienkreis
Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit
28.01.2025 , von Siham K.
Sehr gut
15.01.2025 , von Simone K.
Wir sind sehr zufrieden mit dem Studienkreis!
14.01.2025 , von Madlen M.
Meine Tochter geht sehr gerne hin, kurzfristig konnten wir noch eine zweite Stunde/Fach dazubuchen. Es wird sehr auf die Größe der Gruppe geachtet und das es von der Klassenstufe zusammenpasst. So kann es bleiben.

Noch Fragen?
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7831