Kugelsegment und Kugelausschnitt
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem Kugelsegment und dem Kugelausschnitt.
Was ist ein Kugelsegment?
Das Kugelsegment ist der Teil einer Kugel, der entsteht, wenn die Kugel von einer Ebene geschnitten wird. Man könnte auch sagen, dass die Kugel an einer bestimmten Stelle abgeschnitten wird. Das kleine abgeschnittene Stück ist das sogenannte Kugelsegment.
Wie du in der Abbildung sehen kannst, besteht das Kugelsegment aus einer kreisrunden Grundfläche mit einem Radius $a$. Den Radius des Kugelsegments musst du dabei unbedingt vom Radius $r$ der ganzen Kugel, von der das Segment abgeschnitten wurde, unterscheiden. Über dieser Grundfläche spannt sich eine Kuppel, die man auch Kugelhaube nennt. Der größte Abstand zwischen Grundfläche und Kugelhaube ist die Höhe $h$ des Kreissegments.
Gut zu wissen
Die Halbkugel ist eine Sonderform eines Kugelsegments, bei der der Kreismittelpunkt auf der Grundfläche liegt.
Um Volumen und Oberfläche des Kugelsegments zu berechnen, müssen wir die drei genannten Größen ($r$, $a$ und $h$) kennen. Dabei sind diese Größen nicht unabhängig voneinander, ihr Verhältnis ist durch eine einfache Formel beschrieben:
$r^2 = (r - h)^2 + a^2$
Oberfläche eines Kugelsegments berechnen
Merke
$O_{Kugelsegment} = \pi \cdot (2 \cdot r \cdot h + a^2)$
Beispiel
Berechne die Oberfläche eines Kugelsegments, für das folgendes gilt:
$r ~= 9~cm$
$h ~= 3~cm$
$a ~= 5~cm$
$O_{Kugelsegment} = \pi \cdot (2 \cdot r \cdot h + a^2) = \pi \cdot (2 \cdot 9~cm \cdot 3~cm + 25~cm^2) \approx 248,19~cm^2$
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Volumen eines Kugelsegments berechnen
Merke
$V_{Kugelsegment} = \frac{h^2 \cdot \pi}{3} \cdot (3\cdot r - h)$
Beispiel
Berechne das Volumen des oben beschriebenen Kugelsegments.
$V_{Kugelsegment} = \frac{h^2 \cdot \pi}{3} \cdot (3\cdot r - h) = \frac{9~cm^2 \cdot \pi}{3} \cdot (3\cdot 9~cm - 3~cm) \approx 226,176cm^3$
Was ist ein Kugelausschnitt?
Unter einem Kugelausschnitt versteht man einen kegelförmigen Ausschnitt aus einer Kugel, der von der Oberfläche bis zum Mittelpunkt der Kugel geht.
In der zweidimensionalen Betrachtung (rechte Abbildung) sieht man, dass man den Kugelausschnitt in ein Kugelsegment und einen Kegel teilen kann.
Wichtige Größen sind die Höhe $h$ des Kugelsegments, der Radius $a$ der Grundfläche des Kugelsegments und des Kegels sowie der Radius $r$ der gesamten Kugel, der gleichzeitig die Kantenlänge des Kegels ist.
Oberfläche eines Kugelausschnitts berechnen
Merke
$O_{Kugelausschnitt} = \pi \cdot r \cdot (a + 2\cdot h)$
Beispiel
Berechne die Oberfläche für einen Kugelausschnitt, für den gilt:
$r = 8~cm$
$a = 4~cm$
$h = 3~cm$
$O_{Kreisausschnitt} = \pi \cdot r \cdot (a + 2\cdot h) = \pi \cdot 8~cm \cdot (4~cm + 2\cdot 3~cm) \approx 251,33~cm^2$
Volumen eines Kugelausschnittes berechnen
Merke
$V_{Kugelausschnitt} = \frac{2\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$
Beispiel
Berechne das Volumen des oben beschriebenen Kugelausschnittes.
$V = \frac{2\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h}{3} = \frac{2\cdot \pi \cdot 64~cm^2 \cdot 3~cm}{3} \approx 402,12~cm^3$
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Berechne die Oberfläche eines Kugelsegments mit folgenden Größen:
$r~=~8~cm$
$h~=~5~cm$
$a~=~2,5~cm$
Berechne das Volumen eines Kreisausschnitts mit folgenden Größen:
$r~=~12~cm$
$a~=~5~cm$
$h~=~4~cm$
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