Zylinder: Oberfläche und Volumen berechnen
Der Zylinder ist ein geometrischer Körper, der laut Definition aus zwei kongruenten, parallelen Kreisflächen und einer Mantelfläche besteht. Die beiden Kreisflächen heißen Grund- und Deckfläche. Wichtige Größen des Zylinders sind der Radius der Grund- und Deckfläche sowie die Höhe der Mantelfläche.
Übersicht geometrischer Körper
Neben dem Zylinder gibt es noch eine Vielzahl weiterer geometrischer Körper. Über die Begriffe gelangst du zu ihren Seiten. Schau doch mal rein.
Merke
Merke
Der Zylinder
Nun schauen wir uns den Zylinder und seine Bestandteile einmal genauer an.
Du kannst den Zylinder in Grund-, Deck- und Mantelfläche zerlegen, indem du ihn ausrollst. Probiere es selbst aus!
Grund- und Deckfläche eines Zylinders berechnen
Die Grund- und Deckfläche sind bei Zylindern immer kreisförmig und gleich groß. Die Berechnung dieser Flächen folgt also den Regeln zur Berechnung der Fläche von Kreisen.
Merke
Merke
Formel zur Berechnung der Grund- und Deckfläche eines Zylinders
$A_{Grundfläche} = A_{Deckfläche} = \pi \cdot r^2$
Beispiel
Beispiel
Wie groß sind Grund- und Deckfläche eines Zylinders, dessen Radius $6~cm$ beträgt?
$A = \pi \cdot (6~cm)^2 = \pi \cdot 36~cm^2 \approx 113,1~cm^2$
Mantelfläche eines Zylinders berechnen
Rollen wir die Mantelfläche ab, erhalten wir ein Rechteck. Die Fläche dieses Rechtecks können wir berechnen, indem wir die Breite mal die Höhe rechnen. Die Breite dieser Fläche entspricht dem Umfang des Kreises der Grund- bzw. Deckfläche. Diese kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U_{Grundfläche} = 2 \cdot \pi \cdot r$
Merke
Merke
Mantelfläche eines Zylinders
$A_{Mantelfläche} = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
Für die Berechnung der Mantelfläche benötigst du also immer zwei Angaben: den Radius und die Höhe.
Beispiel
Beispiel
Wie groß ist die Mantelfläche eines Zylinders, dessen Radius $4~cm$ und dessen Höhe $7~cm$ beträgt?
$A = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2\cdot \pi \cdot 4~cm \cdot 7~\cdot \approx 175,9$
Oberfläche eines Zylinders berechnen
Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus den beiden Kreisflächen (Grund- und Deckfläche) und aus der Mantelfläche zusammen. Wir müssen also die Flächen dieser einzelnen Bestandteile miteinander addieren. Da Grund- und Deckfläche gleich sind, können wir diese zusammenfassen.
Merke
Merke
Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders
$O = 2\cdot Grundfläche + Mantelfläche = (2\cdot \pi \cdot r^2) + (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)$
Beispiel
Beispiel
Wie groß ist die Oberfläche eines Zylinders, dessen Radius $2~cm$ und dessen Höhe $5~cm$ beträgt?
$O = (2\cdot \pi \cdot (2~cm)^2) + (2 \cdot \pi \cdot 2~cm \cdot 5~cm) \approx 88~cm^2$
Volumen eines Zylinders berechnen
Das Volumen eines Zylinders errechnet sich aus dem Produkt der Grundfläche mit der Höhe. Wir ziehen sozusagen die Grundfläche der Höhe entlang einmal durch den kompletten Zylinder.
Merke
Merke
Volumenformel eines Zylinders
$V = Grundfläche \cdot Höhe = \pi \cdot r^2 \cdot h$
Beispiel
Beispiel
Wie groß ist das Volumen eines Zylinders, dessen Radius $3~cm$ und dessen Höhe $8~cm$ beträgt?
$V = \pi \cdot (3~cm)^2 \cdot 8~cm \approx 226,2$
Nun kannst du Zylinder berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dir viel Erfolg dabei!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
