Pyramidenstumpf: Volumen und Oberfläche berechnen
In diesem Lerntext erfährst du alles über den geometrischen Körper des quadratischen Pyramidenstumpfes.
Was ist ein Pyramidenstumpf?
Der Pyramidenstumpf leitet sich vom geometrischen Körper der (quadratischen) Pyramide ab. Die quadratische Pyramide besteht aus einer quadratischen Grundfläche und vier gleichschenkligen Dreiecken als Mantelfläche.
Ein quadratischer Pyramidenstumpf ist wie eine quadratische Pyramide, deren Spitze abgeschnitten wurde. Daraus ergeben sich einige Gemeinsamkeiten und einige Unterschiede im Vergleich zur Pyramide. So besitzt der Pyramidenstumpf eine quadratische Grundfläche $G$ sowie eine quadratische Schnittfläche $S$ und eine Mantelfläche, die aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen besteht.
Wichtige Größen im quadratischen Pyramidenstumpf sind außerdem die Höhe $h$ des Stumpfes, die vom Mittelpunkt der Grundfläche zum Mittelpunkt der Schnittfläche geht und die Höhe $h_{m}$ der vier gleichschenkligen Trapeze, die auch als Höhe der Mantelfläche bezeichnet werden kann.
Grundfläche und Schnittfläche berechnen
Grund- und Schnittfläche besitzen eine einfache geometrische Form: sie sind quadratisch. Das bedeutet, sie besitzen jeweils vier gleich lange Seiten. Du musst nur darauf achten, dass du die Seitenlänge $a$ der Grundfläche $G$ und die Seitenlänge $b$ der Schnittfläche $S$ nicht verwechselst.
Merke
Merke
Grundfläche berechnen
$A_{G} = a^2$
Schnittfläche berechnen
$A_{S} = b^2$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus vier gleichschenkligen Trapezen. Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallel verlaufenden Seiten, die unterschiedlich lang sind. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind zudem die beiden Schenkel gleich lang.
Die Fläche eines Trapez berechnen wir mithilfe dieser Formel:
$A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$
Die Seiten $a$ und $b$ bilden die Unter- und Oberseite des Trapezes. Die Höhe des Trapez entspricht im Pyramidenstumpf der Höhe $h_{m}$ der Mantelfläche. Da die Mantelfläche aus insgesamt vier Trapezen besteht, müssen wir die Gleichung noch mit vier multiplizieren.
Merke
Merke
Berechnung der Mantelfläche
$A_{M} = 4\cdot \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h_{m} = 2 \cdot (a + b) \cdot h_{m}$
Oberfläche berechnen
Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes setzt sich zusammen aus der Grundfläche, der Schnittfläche und der Mantelfläche.
Merke
Merke
Berechnung der Oberfläche
$O_{Pyramidenstumpf}~= ~A_{Grundfläche}~+~A_{Schnittfläche}~+~A_{Mantelfläche}$
$O_{Pyramidenstumpf}~= ~a^2 ~+~ b^2 ~+~ 2 \cdot (a + b) \cdot h_{m}$
Volumen berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfes ist ein wenig komplizierter.
Merke
Merke
Volumen berechnen
$V_{Pyramidenstumpf} = \frac{h}{3} \cdot (a^2 + a\cdot b + b^2)$
Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Teste dein Wissen!
Berechne die Oberfläche des quadratischen Pyramidenstumpfes mit folgenden Größen:
$a~=~10~cm$
$b~=~5~cm$
$h_m~=~7~cm$
Welche Form haben Grund- und Schnittfläche eines quadratischen Pyramidenstumpfes?
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Hol dir Hilfe beim Studienkreis!
Selbst-Lernportal Online
Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!
- Online-Chat 14-20 Uhr
- 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungsaufgaben
Einzelnachhilfe Online
Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!
- Online-Nachhilfe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Nachhilfe in deiner Nähe
Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Nachhilfe in deiner Nähe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Unsere Kunden über den Studienkreis
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
