Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Geometrische Körper Pyramidenstumpf: Volumen und Oberfläche berechnen

Pyramidenstumpf: Volumen und Oberfläche berechnen

In diesem Lerntext erfährst du alles über den geometrischen Körper des quadratischen Pyramidenstumpfes.

 Was ist ein Pyramidenstumpf?

Der Pyramidenstumpf leitet sich vom geometrischen Körper der (quadratischen) Pyramide ab. Die quadratische Pyramide besteht aus einer quadratischen Grundfläche und vier gleichschenkligen Dreiecken als Mantelfläche.  

Ein quadratischer Pyramidenstumpf ist wie eine quadratische Pyramide, deren Spitze abgeschnitten wurde. Daraus ergeben sich einige Gemeinsamkeiten und einige Unterschiede im Vergleich zur Pyramide. So besitzt der Pyramidenstumpf eine quadratische Grundfläche $G$ sowie eine quadratische Schnittfläche $S$ und eine Mantelfläche, die aus vier identischen gleichschenkligen Trapezen besteht.

Pyramidenstumpf
Pyramidenstumpf

Wichtige Größen im quadratischen Pyramidenstumpf sind außerdem die Höhe $h$ des Stumpfes, die vom Mittelpunkt der Grundfläche zum Mittelpunkt der Schnittfläche geht und die Höhe $h_{m}$ der vier gleichschenkligen Trapeze, die auch als Höhe der Mantelfläche bezeichnet werden kann.

Grundfläche und Schnittfläche berechnen

Grund- und Schnittfläche besitzen eine einfache geometrische Form: sie sind quadratisch. Das bedeutet, sie besitzen jeweils vier gleich lange Seiten. Du musst nur darauf achten, dass du die Seitenlänge $a$ der Grundfläche $G$ und die Seitenlänge $b$ der Schnittfläche $S$ nicht verwechselst.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Grundfläche berechnen

$A_{G} = a^2$

Schnittfläche berechnen

$A_{S} = b^2$

Mantelfläche berechnen

Die Mantelfläche besteht aus vier gleichschenkligen Trapezen. Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallel verlaufenden Seiten, die unterschiedlich lang sind. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind zudem die beiden Schenkel gleich lang.

Die Fläche eines Trapez berechnen wir mithilfe dieser Formel:

$A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

Die Seiten $a$ und $b$ bilden die Unter- und Oberseite des Trapezes. Die Höhe des Trapez entspricht im Pyramidenstumpf der Höhe $h_{m}$ der Mantelfläche. Da die Mantelfläche aus insgesamt vier Trapezen besteht, müssen wir die Gleichung noch mit vier multiplizieren.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Berechnung der Mantelfläche

$A_{M} = 4\cdot \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h_{m} = 2 \cdot (a + b) \cdot h_{m}$

Oberfläche berechnen

Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes setzt sich zusammen aus der Grundfläche, der Schnittfläche und der Mantelfläche.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Berechnung der Oberfläche

$O_{Pyramidenstumpf}~= ~A_{Grundfläche}~+~A_{Schnittfläche}~+~A_{Mantelfläche}$

$O_{Pyramidenstumpf}~= ~a^2 ~+~ b^2 ~+~ 2 \cdot (a + b) \cdot h_{m}$

Volumen berechnen

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfes ist ein wenig komplizierter.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Volumen berechnen

$V_{Pyramidenstumpf} = \frac{h}{3} \cdot (a^2 + a\cdot b + b^2)$

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Du brauchst Hilfe? Frag einen Lehrer!

Lehrer jetzt sofort fragen

Wende dich direkt online ohne Termin per Video-Chat an einen unserer Lehrer der Mathematik-Hausaufgabenhilfe, täglich zwischen 14-21 Uhr.

Jetzt kostenlos fragen

Lehrer zum Wunschtermin fragen

Vereinbare einen Termin bei einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe-Online

Gratis Probestunde online

Du möchtest lieber einen Lehrer in einer unserer Nachhilfe-Schulen fragen? Dann wähle hier deine nächstgelegene Mathematik-Nachhilfe-Schule aus.

Gratis Probestunde vor Ort
TESTE KOSTENLOS UNSER SELBST-LERN-PORTAL:
  • Über 600 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
7833