Satz des Pythagoras - Formel, Berechnung und Beispiele

Satz des Pythagoras: Formel und Berechnung

Wie du siehst, gibt es in einem rechtwinkligen Dreieck viel zu benennen. Schauen wir uns nun an, was der Satz des Pythagoras aussagt und wie wir damit rechnen:

Was genau bedeutet das? Wir stellen uns vor, dass wir aus den drei Seitenlängen (bestehend aus den beiden Katheten und der Hypotenuse) je ein Quadrat konstruieren. Diese Quadrate bestehen also jeweils aus vier gleich langen Seiten mit den Seitenlängen $a$ oder $b$ oder $c$.

Dreieck mit konstruierten Flächen

Addierst du die Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen $a$ und $b$, erhältst du den Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge $c$, also $c^2$.

Satz des Pythagoras: Beweis

Du glaubst nicht, dass die beiden kleineren Quadrate in das große Quadrat passen? Dann probiere es selbst aus!

Den Satz des Pythagoras mathematisch zu beweisen ist auf viele Wege möglich. Besonders anschaulich und gleichzeitig relativ einfach ist der geometrische Beweis.

In dem folgenden Quadrat findest du insgesamt vier gleiche, rechtwinklige Dreiecke an den Ecken. Die Hypotenuse $c$ bildet dabei ein zweites Quadrat ($c^2$). Eine Seite des großen Quadrates ist so lang wie die Summe aus der Seite $a$ und der Seite $b$.

Geometrischer Beweis des Satz des Pythagoras

Der Flächeninhalt des großen Quadrats ergibt sich daher wie folgt:

$A = (a + b)^2$

Dieser Flächeninhalt lässt sich aber auch durch den Flächeninhalt der vier kleinen Dreiecke und des kleineren Quadrats ($c^2$) ausdrücken. Wir zerlegen das große Quadrat also in $c^2$ und die vier Dreiecke mit den Seiten $a, b$ und $c$.

Der Flächeninhalt von einem rechtwinkligen Dreieck ist gegeben durch: $A= \frac{1}{2} \cdot (a \cdot b)$. Da es vier Dreiecke sind, müssen wir das natürlich direkt vier Mal machen:

$(a + b)^2 = c^2 + 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot (a \cdot b))$

Die Klammern des rechten Terms lassen sich auflösen:

$(a + b)^2 = c^2 + 2 \cdot a \cdot b$

Die Klammer im linken Term können wir mit Hilfe der 1. binomischen Formel auflösen:

$ a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 = c^2 + 2 \cdot a  \cdot b$

Auf beiden Seiten steht $2\cdot a\cdot b$, was wir daher wegstreichen können. Wir erhalten dann den Satz des Pythagoras:

$a^2 +  b^2 = c^2 $

Rechnen mit dem Satz des Pythagoras

Das Besondere am Satz des Pythagoras ist, dass wir alle drei Seitenlängen in ein Verhältnis setzen können. Das bedeutet, dass uns immer zwei Seitenlängen ausreichen, um die dritte Seitenlänge zu berechnen. Mithilfe des Satz des Pythagoras kannst du also nicht nur die Länge der Seite $c$, sondern auch die Längen der Seiten $a$ oder $b$ berechnen:

Nun hast du alles Wichtige in der Mathematik zum Satz des Pythagoras gelernt. Teste nun dein neu erlerntes Wissen und rechne selbst in den Übungsaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg.

Beispielaufgabe: Rechnen mit dem Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist nicht nur in Dreiecken hilfreich. Wir werden jetzt sehen, dass wir die eben gelernte Formel auch bei Vierecken anwenden können. Schauen wir uns gemeinsam folgendes Problem an. Wir haben ein Viereck mit einer unbekannten Seitenlänge $b$.

Viereck mit zwei rechten Winkeln.

Wie du in der Abbildung erkennen kannst, lässt sich das gegebene Viereck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerschneiden. Wie schon bei den Dreiecks-Aufgaben fehlt eine Seitenlänge des Vierecks. Die Seiten $a$, $c$ und $d$ sind gegeben. Um also $b$ zu berechnen reicht uns eigentlich das rechte Dreieck $BCD$. Allerdings fehlen uns in diesem Dreieck zwei Seitenlängen, nämlich die unbekannte Länge $b$ und die Länge der gezogen Trennlinie ($h$). Der Satz des Pythagoras bringt uns an dieser Stelle nicht weiter. Unsere einzige Möglichkeit ist zunächst das linke Dreieck zu betrachten. Auch hier ist die Länge der Trennlinie unbekannt. Im Gegensatz zur rechten Hälfte sind uns aber die beiden anderen Seitenlängen bekannt, sodass wir die Länge der Trennlinie ($h$) berechnen können.

zerschnittenes Viereck

Lösungsweg

Berechnen wir also zunächst die Länge von $h$ im Dreieck $ABD$. Dieses Beispiel ist besonders einfach, da die gesuchte Länge die Hypotenuse ist, also dem rechten Winkel gegenüber liegt. Wir müssen den Satz des Pythagoras also gar nicht umstellen, sondern rechnen direkt mit den Quadraten der Katheten $a$ und $d$.

$a^2 + d^2 = h^2$

$(12 cm)^2 + (9 cm)^2 = h^2$

$225 cm^2 = h^2$    | $\sqrt[]{}$

$\sqrt[]{225cm^2} = h$

$h = 15 cm$

Wir kennen jetzt die Länge der Trennlinie $h$ und haben im rechten Dreieck $BCD$ nur noch eine unbekannte Seite. In diesem Fall ist die unbekannte Seitenlänge $b$ jedoch eine der Katheten, sodass wir den Satz des Pythagoras zunächst umformen müssen:

$b^2 + c^2 = h^2$    | $-c^2$

$b^2 = h^2 - c^2$     |$\sqrt[]{}$

$b = \sqrt[]{(15 cm)^2 - (5 cm)^2}$

$b \approx 14,14 cm$

Der Satz des Pythagoras kann also auch bei Vielecken (mehreckigen Figuren) angewendet werden. Das Prinzip ist dabei immer dasselbe: Wir zerlegen die Figur in möglichst wenige, rechtwinklige Dreiecke und rechnen dann nacheinander alle unbekannten Größen aus.

In den Übungsaufgaben kannst du jetzt dein neues Wissen testen. Viel Erfolg dabei!

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!