Was ist der Satz des Pythagoras? - Formel und Beweis
Wir tauchen nun ein in eine der wohl bekanntesten Formeln der Mathematik. Doch wohingegen andere oft nur den Namen kennen, wirst du in wenigen Schritten verstehen und üben, was der Satz des Pythagoras genau ist und wobei man ihn anwenden kann.
Der Satz des Pythagoras, oder auch die Pythagoras-Formel genannt, kommt aus dem Bereich der Geometrie und kann ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden.
Vertiefung
Du solltest noch einmal überlegen, was du bis jetzt alles über Dreiecke weißt.
Wir haben schon verschiedene Arten dieser geometrischen Figur kennengelernt: gleichseitig, ungleichseitig und gleichschenklig. Die Bezeichnung rechtwinkliges Dreieck ist uns neu und beschreibt ein Dreieck mit einem rechten Winkel, das heißt, ein Dreieck, bei dem einer der drei Winkel 90° beträgt. In einem solchen Dreieck wird die Ecke mit dem rechten Winkel mit dem Punkt $C$ bezeichnet, die anderen Punkte entsprechend mit $A$ und $B$.
Wie du ja bereits weißt, werden die Winkel mit dem gleichen Buchstaben benannt wie der Punkt, aus dem sie "entspringen". Die Winkel werden jedoch mit griechischen Buchstaben bezeichnet, damit du nichts verwechseln kannst. Der rechte Winkel ist definitionsgemäß am Punkt $C$ und heißt gamma ($\gamma$). Du hast auch schon einmal gesehen, dass wir die einzelnen Seiten eines Dreiecks mit den kleinen Buchstaben $a$, $b$ und $c$ benennen. Wichtig ist dabei, dass die Seiten nach den gegenüberliegenden Punkten benannt werden. Schaust du dir beispielsweise den Punkt $B$ an, wirst du feststellen, dass keine der Seiten, die von Punkt $B$ ausgehen, mit $b$ benannt sind, sondern diejenige Seite, die dem Punkt gegenüber liegt.
Bei den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gibt es noch etwas zu beachten. Die Seitenlänge $c$, also die Seitenlänge, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, bezeichnet man als Hypotenuse. Die anderen beiden Seiten ($a$,$b$), also die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, nennt man Katheten.
Satz des Pythagoras: Formel
Wie du siehst, gibt es in einem rechtwinkligen Dreieck viel zu benennen. Schauen wir uns nun an, was der Satz des Pythagoras aussagt:
Merke
Satz des Pythagoras: $\textcolor{red}{a^2} + \textcolor{red}{b^2} = \textcolor{blue}{c^2}$
ausgesprochen: Die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate entspricht dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Was genau bedeutet das? Wir stellen uns vor, dass wir aus den drei Seitenlängen je ein Quadrat konstruieren. Diese Quadrate bestehen also jeweils aus vier gleich langen Seiten mit den Seitenlängen $a$ oder $b$ oder $c$.
Addierst du die Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen $a$ und $b$, erhältst du den Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge $c$, also $c^2$.
Gut zu wissen
Über die Person des Pythagoras ist sehr wenig bekannt. Niemand weiß, ob er den nach ihm benannten Satz überhaupt selbst formuliert hat. Die Formel taucht zum ersten Mal im Lehrbuch des Mathematikers Euklid (340 - 270 v. Chr.) auf.
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Satz des Pythagoras: Beweis
Du glaubst nicht, dass die beiden kleineren Quadrate in das große Quadrat passen? Dann probiere es selbst aus!
Methode
Interaktives Arbeitsblatt
Ziehe die Flächen des großen Quadrates in die kleinen hinein, indem du mit der Maus auf die roten Punkte klickst, gedrückt hältst und bewegst. Du kannst außerdem die Lage des Punktes C verändern, was zeigt, dass der Satz des Pythagoras wirklich in allen rechtwinkligen Dreiecken gilt!
Den Satz des Pythagoras mathematisch zu beweisen ist auf viele Wege möglich. Besonders anschaulich und gleichzeitig relativ einfach ist der geometrische Beweis.
In dem folgenden Quadrat findest du insgesamt vier gleiche, rechtwinklige Dreiecke an den Ecken. Die Hypotenuse $c$ bildet dabei ein zweites Quadrat ($c^2$). Eine Seite des großen Quadrates ist so lang wie die Summe aus der Seite $a$ und der Seite $b$.
Der Flächeninhalt des großen Quadrats ergibt sich daher wie folgt:
$A = (a + b)^2$
Dieser Flächeninhalt lässt sich aber auch durch den Flächeninhalt der vier kleinen Dreiecke und des kleineren Quadrats ($c^2$) ausdrücken. Wir zerlegen das große Quadrat also in $c^2$ und die vier Dreiecke mit den Seiten $a, b$ und $c$.
Der Flächeninhalt von einem rechtwinkligen Dreieck ist gegeben durch: $A= \frac{1}{2} \cdot (a \cdot b)$. Da es vier Dreiecke sind, müssen wir das natürlich direkt vier Mal machen:
$(a + b)^2 = c^2 + 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot (a \cdot b))$
Die Klammern des rechten Terms lassen sich auflösen:
$(a + b)^2 = c^2 + 2 \cdot a \cdot b$
Die Klammer im linken Term können wir mit Hilfe der 1. binomischen Formel auflösen:
$ a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 = c^2 + 2 \cdot a \cdot b$
Auf beiden Seiten steht $2\cdot a\cdot b$, was wir daher wegstreichen können. Wir erhalten dann den Satz des Pythagoras:
$a^2 + b^2 = c^2 $
Rechnen mit dem Satz des Pythagoras
Das Besondere am Satz des Pythagoras ist, dass wir alle drei Seitenlängen in ein Verhältnis setzen können. Das bedeutet, dass uns immer zwei Seitenlängen ausreichen, um die dritte Seitenlänge zu berechnen. Mithilfe des Satz des Pythagoras kannst du also nicht nur die Länge der Seite $c$, sondern auch die Längen der Seiten $a$ oder $b$ berechnen:
Beispiel
Wie lang ist $a$?
$a^2 + b^2 = c^2$ | $-b^2$
$a^2 = c^2 - b^2$ |$\sqrt[]{}$
$a = \sqrt[]{c^2 - b^2}$
Beispiel
Wie lang ist $b$?
$a^2 + b^2 = c^2$ | $-a^2$
$b^2 = c^2 - a^2$ |$\sqrt[]{}$
$b = \sqrt[]{c^2 - a^2}$
Beispiel
Wie lang ist $c$?
$c^2 = a^2 + b^2 $ |$\sqrt[]{}$
$c = \sqrt[]{a^2 + b^2}$
Nun hast du alles Wichtige zum Satz des Pythagoras gelernt. Teste nun dein neu erlerntes Wissen in den Übungsaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg.
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