Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Satzgruppe des Pythagoras Kathetensatz des Euklid - Was ist das?

Kathetensatz des Euklid - Was ist das?

Der Kathetensatz des Euklid gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie der Höhensatz und der Satz des Pythagoras, befasst sich der Kathetensatz mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken.

Ausgangspunkt für den Kathetensatz ist der Satz des Pythagoras, laut dem das Hypotenusenquadrat ($c^2$) genauso groß ist wie die Summe der Kathetenquadrate ($a^2$ und $b^2$): $a^2 + b^2 = c^2$

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.

Satz des Pythagoras
Satz des Pythagoras

Was ist der Kathetensatz des Euklid?

Um zu verstehen, was der Kathetensatz aussagt, benötigen wir die Höhe des Dreiecks. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein Lot, das vom rechten Winkel auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Die Höhe teilt die Hypotenuse ($c$) in zwei Abschnitte $q$ und $p$.

Kathetensatz des Euklid
Kathetensatz des Euklid

Zeichnen wir die Höhe über das Dreieck hinaus, teilt sie das Hypotenusenquadrat in zwei Rechtecke mit den Flächeninhalten $q\cdot c$ und $p\cdot c$.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Kathetensatz des Euklid

Das Quadrat von $a$ ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten $p$ und $c$. Das Quadrat von $b$ ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten $q$ und $c$.

  • $b^2 = q \cdot c$
  • $a^2 = p \cdot c$

Beweis des Kathetensatzes

Durch das Einzeichnen der Höhe erhalten wir insgesamt drei Dreiecke: Ein Dreieck mit den Seitenlängen $a, b, c$, ein weiteres Dreieck mit den Seitenlängen $h, p, a$ und ein drittes Dreieck mit den Seitenlängen $h, b, q$.

Dreieck mit Höhe
Dreieck mit Höhe

Jedes dieser Dreiecke ist rechtwinklig und daher können wir jeweils den Satz des Pythagoras anwenden:

  • $a^2 + b^2 = c^2$
  • $h^2 + p^2 = a^2$
  • $h^2 + q^2 = b^2$

Außerdem können wir eine weitere Beziehung aufstellen:

  • $q + p = c$

Für den Beweis benötigt man außerdem den Höhensatz des Euklid:

  • $h^2 = p \cdot q$

Beweis: $b^2 = q \cdot  c$

Wir starten mit der Formel für $b^2$:

$b^2 = q^2 + h^2$

Im ersten Schritt ersetzen wir $h^2$ entsprechend dem Höhensatz durch $p \cdot q$.

$b^2 = q^2 + (p \cdot q)$

Die Potenz $q^2$ können wir ausschreiben und erhalten:

$b^2 = (q \cdot q) + (p\cdot q)~~~~~|q~ausklammern$

$b^2 = q \cdot (q + p)$

Für den Klammerterm $(q + p)$ können wir nach der obigen Formel auch $c$ einsetzen.

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

$q + p = c$

So erhalten wir den uns bekannten Kathetensatz:

$b^2 = q \cdot c$

Beweis: $a^2 = p \cdot c$

Der Beweis ist analog zu der obigen Rechnung, mit dem Unterschied, dass wir mit der Formel für $a^2$ starten:

$a^2 = p^2 + h^2~~~~~|Höhensatz~anwenden:~h^2 = p \cdot q$

$a^2 = p^2 + (p\cdot q)$

$a^2 = (p \cdot p) + (p\cdot q)~~~~~|p~ausklammern$

$a^2 = p \cdot (p + q)~~~~~|c= p + q$

$a^2 = p \cdot c$

Beispielaufgabe

Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind folgende Längen gegeben: $c =5~cm$ und $p = 2~cm$. Wir sollen die fehlenden Längen $a$ und $b$ berechnen.

Um die gesuchten Seiten mithilfe des Kathetensatzes berechnen zu können, müssen $p$, $q$ und $c$ bekannt sein:

  • $b^2 = q \cdot c$
  • $a^2 = p \cdot c$

Da $p$ und $c$ schon in der Aufgabenstellung gegeben sind, können wir $a$ direkt berechnen:

$a^2 = p \cdot c = 2~cm \cdot 5~cm = 10~cm^2~~~~~|\sqrt[]{}$

$a = \sqrt[]{10~cm^2}$

$a \approx 3,16~cm$

Nun fehlt uns noch die Seite $b$. Um diese Seitenlänge zu berechnen, benötigen wir die Seite $q$.

$c = p + q ~ \leftrightarrow ~ q = c - p ~ \leftrightarrow ~ q = 5~cm - 2~cm = 3~cm$

Jetzt kennen wir $q$ und können $b$ mithilfe des Kathetensatzes berechnen:

$b^2 = q \cdot c = 3~cm \cdot 5~cm = 15~cm^2~~~~~|\sqrt[]{}$

$b = \sqrt[]{15~cm^2}$

$b \approx 3,87~cm$

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Du brauchst Hilfe? Frag einen Lehrer!

Lehrer jetzt sofort fragen

Wende dich direkt online ohne Termin per Video-Chat an einen unserer Lehrer der Mathematik-Hausaufgabenhilfe, täglich zwischen 14-21 Uhr.

Jetzt kostenlos fragen

Lehrer zum Wunschtermin fragen

Vereinbare einen Termin bei einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe-Online

Gratis Probestunde online

Du möchtest lieber einen Lehrer in einer unserer Nachhilfe-Schulen fragen? Dann wähle hier deine nächstgelegene Mathematik-Nachhilfe-Schule aus.

Gratis Probestunde vor Ort
TESTE KOSTENLOS UNSER SELBST-LERN-PORTAL:
  • Über 600 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
7837