Kathetensatz des Euklid - Was ist das?
Der Kathetensatz des Euklid gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Wie der Höhensatz und der Satz des Pythagoras, befasst sich der Kathetensatz mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken.
Ausgangspunkt für den Kathetensatz ist der Satz des Pythagoras, laut dem das Hypotenusenquadrat ($c^2$) genauso groß ist wie die Summe der Kathetenquadrate ($a^2$ und $b^2$): $a^2 + b^2 = c^2$
Gut zu wissen
Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.
Was ist der Kathetensatz des Euklid?
Um zu verstehen, was der Kathetensatz aussagt, benötigen wir die Höhe des Dreiecks. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist ein Lot, das vom rechten Winkel auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Die Höhe teilt die Hypotenuse ($c$) in zwei Abschnitte $q$ und $p$.
Zeichnen wir die Höhe über das Dreieck hinaus, teilt sie das Hypotenusenquadrat in zwei Rechtecke mit den Flächeninhalten $q\cdot c$ und $p\cdot c$.
Merke
Kathetensatz des Euklid
Das Quadrat von $a$ ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten $p$ und $c$. Das Quadrat von $b$ ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten $q$ und $c$.
- $b^2 = q \cdot c$
- $a^2 = p \cdot c$
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Beweis des Kathetensatzes
Durch das Einzeichnen der Höhe erhalten wir insgesamt drei Dreiecke: Ein Dreieck mit den Seitenlängen $a, b, c$, ein weiteres Dreieck mit den Seitenlängen $h, p, a$ und ein drittes Dreieck mit den Seitenlängen $h, b, q$.
Jedes dieser Dreiecke ist rechtwinklig und daher können wir jeweils den Satz des Pythagoras anwenden:
- $a^2 + b^2 = c^2$
- $h^2 + p^2 = a^2$
- $h^2 + q^2 = b^2$
Außerdem können wir eine weitere Beziehung aufstellen:
- $q + p = c$
Für den Beweis benötigt man außerdem den Höhensatz des Euklid:
- $h^2 = p \cdot q$
Beweis: $b^2 = q \cdot c$
Wir starten mit der Formel für $b^2$:
$b^2 = q^2 + h^2$
Im ersten Schritt ersetzen wir $h^2$ entsprechend dem Höhensatz durch $p \cdot q$.
$b^2 = q^2 + (p \cdot q)$
Die Potenz $q^2$ können wir ausschreiben und erhalten:
$b^2 = (q \cdot q) + (p\cdot q)~~~~~|q~ausklammern$
$b^2 = q \cdot (q + p)$
Für den Klammerterm $(q + p)$ können wir nach der obigen Formel auch $c$ einsetzen.
Gut zu wissen
$q + p = c$
So erhalten wir den uns bekannten Kathetensatz:
$b^2 = q \cdot c$
Beweis: $a^2 = p \cdot c$
Der Beweis ist analog zu der obigen Rechnung, mit dem Unterschied, dass wir mit der Formel für $a^2$ starten:
$a^2 = p^2 + h^2~~~~~|Höhensatz~anwenden:~h^2 = p \cdot q$
$a^2 = p^2 + (p\cdot q)$
$a^2 = (p \cdot p) + (p\cdot q)~~~~~|p~ausklammern$
$a^2 = p \cdot (p + q)~~~~~|c= p + q$
$a^2 = p \cdot c$
Beispielaufgabe
Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind folgende Längen gegeben: $c =5~cm$ und $p = 2~cm$. Wir sollen die fehlenden Längen $a$ und $b$ berechnen.
Um die gesuchten Seiten mithilfe des Kathetensatzes berechnen zu können, müssen $p$, $q$ und $c$ bekannt sein:
- $b^2 = q \cdot c$
- $a^2 = p \cdot c$
Da $p$ und $c$ schon in der Aufgabenstellung gegeben sind, können wir $a$ direkt berechnen:
$a^2 = p \cdot c = 2~cm \cdot 5~cm = 10~cm^2~~~~~|\sqrt[]{}$
$a = \sqrt[]{10~cm^2}$
$a \approx 3,16~cm$
Nun fehlt uns noch die Seite $b$. Um diese Seitenlänge zu berechnen, benötigen wir die Seite $q$.
$c = p + q ~ \leftrightarrow ~ q = c - p ~ \leftrightarrow ~ q = 5~cm - 2~cm = 3~cm$
Jetzt kennen wir $q$ und können $b$ mithilfe des Kathetensatzes berechnen:
$b^2 = q \cdot c = 3~cm \cdot 5~cm = 15~cm^2~~~~~|\sqrt[]{}$
$b = \sqrt[]{15~cm^2}$
$b \approx 3,87~cm$
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