Mathematik > Geometrie

Quader und Würfel: Formeln für Fläche und Volumen

Inhaltsverzeichnis:

Der Quader ist eine dreidimensionale Darstellung eines Rechtecks. Er besteht aus $8$ Ecken und $12$ Kanten und wird von $6$ Rechtecken gebildet. Die gegenüberliegenden Rechtecke sind deckungsgleich, das heißt sie passen genau aufeinander. Man nennt diese Eigenschaft auch Kongruenz. An jeder Ecke laufen drei Kanten zusammen.

Der Quader.
Der Aufbau eines Quaders.

Oberfläche eines Quaders

Die vier großen Rechtecke bilden die Mantelfläche des Quaders, die zwei kleineren Rechtecke sind die Seitenflächen. Seiten- und Mantelfläche bilden zusammen die Oberfläche. Um die einzelnen Flächen zu berechnen, musst du die Länge mit der Breite multiplizieren.

$ O = 2\cdot Seitenfläche~+~Mantelfläche~= 2 \cdot (a\cdot b) + (2\cdot a \cdot c + 2\cdot b\cdot c) = 2\cdot (a \cdot b + a\cdot c + b\cdot c)$

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Oberfläche eines Quaders mit den Seitenlängen $a$, $b$, und $c$.

 $O= 2\cdot (a \cdot b + a\cdot c + b\cdot c)$

Beispiel

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Wie groß ist die Oberfläche eines Quaders mit folgenden Seitenlängen? 

$a = 5~cm$, $b = 2~cm$, $c= 8~cm$

$O= 2\cdot (5~cm \cdot 2 ~cm + 5~cm \cdot 8~cm + 2~cm \cdot 8~cm) = 132~cm^2$

Volumen eines Quaders

Um das Volumen eines Quaders auszurechnen, musst du die Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren.

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Volumen eines Quaders

$V=~Länge~\cdot ~Breite ~\cdot ~ Höhe$

$V = a \cdot b \cdot c$

Beispiel

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Welches Volumen hat ein Quader mit den folgenden Seitenlängen?

$a = 4~cm$, $b = 2~cm$, $c= 7~cm$

$V = 4~cm \cdot 2~cm \cdot 7~cm = 56~cm^3$

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Der Würfel - Ein Sonderfall des Quaders

Bei dem Würfel handelt es sich um einen Sonderfall des Quaders. Auch der Würfel besitzt $8$ Ecken und $12$ Kanten. Außerdem wird er von $6$ deckungsgleichen Quadraten gebildet. Die Kanten des Würfels sind alle gleich lang.

Der Würfel.
Der Würfel.

Oberfläche eines Würfels

Die Oberfläche eines Würfels besteht aus den sechs deckungsgleichen Quadraten, deren Flächeninhalte einfach addiert werden müssen.

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$O_{Würfel}= 6 \cdot a \cdot a = 6\cdot a^2$

Beispiel

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Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge $7~cm$?

$O= 6 \cdot a^2 = 6\cdot (7~cm)^2 = 6 \cdot 49~cm^2 = 294~cm^2$

Volumen eines Würfels

Das Volumen eines Würfels berechnest du wie beim Quader, indem du die Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizierst. Da die jeweiligen Kanten alle gleich groß sind, erhalten wir einen simplen Ausdruck.

Merke

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$V_{Würfel} = a \cdot a \cdot a = a^3$

Beispiel

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Wie groß ist das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $5~cm$?

$V = a^3 = (5~cm)^3 = 125~cm^3$

Jetzt hast du einen detaillierten Überblick über die Oberflächen- und Volumenberechnung von Würfeln und Quadern erhalten. Ob du alles verstanden hast, kannst du nun anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Übungsaufgaben

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Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge $a= 7~cm$ ?

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Wie groß ist das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen $a=8~cm$ ,  $b=2~cm$  und $c=3~cm$? Markiere die richtige Antwort.

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Wie groß ist die Oberfläche eines Quaders mit den Seitenlängen $a=10~cm$, $b= 5~cm$ und $c=4~cm$  ?

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Wie groß ist das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $a=12~cm$?

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