Mathematik > Geometrie

Was sind platonische Körper?

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext befassen wir uns mit den sogenannten platonischen Körpern. Sie gehören zur Gruppe der zusammengesetzten Körper und wir können ihre Oberfläche und ihr Volumen mittels bestimmter Formeln berechnen.

Was ist ein platonischer Körper?

Ein platonischer Körper ist ein Körper, der aus regelmäßigen Vielecken zusammengesetzt ist. Wichtig ist dabei, dass an jeder Ecke des Körpers gleich viele Vielecke aufeinandertreffen. Ist dies nicht der Fall, bezeichnet man den Körper auch nicht als platonisch.

Wie viele platonische Körper gibt es?

Die oben genannte Definition schränkt unsere Möglichkeiten ein, denn obwohl es beliebige viele Vielecke gibt, können wir lediglich fünf platonische Körper konstruieren. Diese platonischen Körper lauten: Tetraeder, Hexaeder (oder: Würfel), Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder. Wie diese Körper aussehen, sieht du in der unteren Abbildung.

Die fünf platonischen Körper.
Die fünf platonischen Körper.

Es gibt nur diese fünf platonischen Körper, da bei allen anderen, aus Vielecken zusammengesetzten Körpern an ihren Ecken nicht gleich viele Vielecke aufeinandertreffen. Ein gutes Beispiel sind zwei zusammengesetzte Tetraeder. Dieser Körper wird zwar aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut, allerdings treffen an seinen Ecken mal drei ($\textcolor{red}{rot}$) und mal vier ($\textcolor{green}{gruen}$) Vielecke aufeinander.

Zwei aneinander gesetzte Tetraeder.
Zwei aneinander gesetzte Tetraeder.

Wenn wir mit platonischen Körpern rechnen, ist für uns vor allem eine Größe wichtig: die Seitenlänge $a$. Mithilfe dieser Angabe können wir Oberfläche und Volumen der Körper berechnen. Schauen wir uns nun die einzelnen Körper genauer an. Die Herleitung der Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen sind sehr anspruchsvoll und werden an dieser Stelle vorerst nicht behandelt.

Tetraeder

Der einfachste platonische Körper ist der Tetraeder, da er aus vier gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt wird (tetra = vier). Sein Netz ist ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck.

Der Tetraeder besitzt...

  • 4 Eckpunkte,
  • 6 Kanten und
  • 4 Seitenflächen.
Der Tetraeder
Der Tetraeder.

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Der Tetraeder ist aus vier gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.

Volumen eines Tetraeders

$V_{Tetraeder} = \frac{\sqrt[]{2}}{12} \cdot a^3 \approx 0,1179 \cdot a^3$

Oberfläche eines Tetraeders

$O_{Tetraeder} = \sqrt[]{3} \cdot a^2 \approx 1,7321 \cdot a^2$

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Hexaeder (Würfel)

Der Hexaeder, oder auch einfach Würfel, ist der bekannteste platonische Körper. Er ist aus sechs Quadraten zusammengesetzt (hexa = sechs) und ist somit nichts anderes als ein Quader, dessen Seitenlängen alle gleich lang sind.

Der Hexaeder besitzt...

  • 8 Eckpunkte,
  • 12 Kanten und
  • 6 Seitenflächen.
Der Hexaeder
Der Hexaeder.

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Der Hexaeder ist aus sechs Quadraten zusammengesetzt.

Volumen eines Hexaeders

$V_{Hexaeder} = a^3$

Oberfläche eines Hexaeders

$O_{Hexaeder} = 6 \cdot a^2$

Oktaeder

Der Oktaeder ist wie der Tetraeder aus gleichseitigen Dreiecken aufgebaut. Im Gegensatz zum Tetraeder sind es beim Oktaeder aber gleich acht gleichseitige Dreiecke (octa = acht). Der Oktaeder erinnert an zwei quadratische Pyramiden, die an ihren Grundflächen zusammengesetzt wurden.

Der Oktaeder besitzt...

  • 6 Eckpunkte,
  • 12 Kanten und
  • 8 Seitenflächen.
Der Oktaeder
Der Oktaeder.

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Der Oktaeder ist aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.

Volumen eines Oktaeders

$V_{Oktaeder} = \frac{\sqrt[]{2}}{3} \cdot a^3 \approx 0,4714 \cdot a^3$

Oberfläche eines Oktaeders

$O_{Oktaeder} = 2\cdot \sqrt[]{3} \cdot a^2 \approx 3,4641 \cdot a^2$

Pentagondodekaeder

Der Pentagondodekaeder, in der Kurzform auch einfach Dodekaeder, besteht aus zwölf regelmäßigen Fünfecken (dodeka = zwölf). Seine äußere Form erinnert ein wenig an eine Kugel.

Der Dodekaeder besitzt...

  • 20 Eckpunkte,
  • 30 Kanten und
  • 12 Seitenflächen.
Der Dodekaeder
Der Dodekaeder.

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Der Dodekaeder ist aus zwölf Fünfecken zusammengesetzt.

Volumen eines Dodekaeders

$V_{Dodekaeder} = \frac{15 + 7 \cdot \sqrt[]{5}}{4} \cdot a^3 \approx 7,6631 \cdot a^3$

Oberfläche eines Dodekaeders

$O_{Dodekaeder} = 3 \cdot \sqrt[]{25 + 10 \cdot \sqrt[]{5}} \cdot a^2 \approx 20,6457 \cdot a^2$

Ikosaeder

Der Ikosaeder besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken (eikosa = zwanzig) und hat ebenfalls eine rundliche Erscheinungsform.

Der Ikosaeder besteht aus...

  • 12 Eckpunkte,
  • 30 Kanten und
  • 20 Seitenflächen.
Der Ikosaeder.
Der Ikosaeder.

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Der Ikosaeder ist aus zwölf Fünfecken zusammengesetzt.

Oberfläche eines Ikosaeders

$O_{Ikosaeder} = 5 \cdot \sqrt[]{3} \cdot a^2 \approx 8,6603 \cdot a^2$

Volumen eines Ikosaeders

$V_{Ikosaeder} = \frac{5 \cdot (3 + \sqrt[]{5})}{12} \cdot a^3 \approx 2,1817 \cdot a^3$

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Wie groß ist die Oberfläche eines Tetraeders mit der Seitenlänge $a = 6~cm$?

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Wie groß ist die Oberfläche eines Oktaeders mit einer Seitenlänge von $a = 17~cm$?

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Wie viele Kanten besitzt ein Hexaeder (oder auch Würfel)?

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