Suche
Kontakt
>
Mathematik > Geometrie

Was sind platonische Körper?

Was sind platonische Körper? | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext befassen wir uns mit den sogenannten platonischen Körpern. Sie gehören zur Gruppe der zusammengesetzten Körper und wir können ihre Oberfläche und ihr Volumen mittels bestimmter Formeln berechnen.

Was ist ein platonischer Körper?

Ein platonischer Körper ist ein Körper, der aus regelmäßigen Vielecken zusammengesetzt ist. Wichtig ist dabei, dass an jeder Ecke des Körpers gleich viele Vielecke aufeinandertreffen. Ist dies nicht der Fall, bezeichnet man den Körper auch nicht als platonisch.

Wie viele platonische Körper gibt es?

Die oben genannte Definition schränkt unsere Möglichkeiten ein, denn obwohl es beliebige viele Vielecke gibt, können wir lediglich fünf platonische Körper konstruieren. Diese platonischen Körper lauten: Tetraeder, Hexaeder (oder: Würfel), Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder. Wie diese Körper aussehen, sieht du in der unteren Abbildung.

Die fünf platonischen Körper.
Die fünf platonischen Körper.

Es gibt nur diese fünf platonischen Körper, da bei allen anderen, aus Vielecken zusammengesetzten Körpern an ihren Ecken nicht gleich viele Vielecke aufeinandertreffen. Ein gutes Beispiel sind zwei zusammengesetzte Tetraeder. Dieser Körper wird zwar aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut, allerdings treffen an seinen Ecken mal drei ($\textcolor{red}{rot}$) und mal vier ($\textcolor{green}{gruen}$) Vielecke aufeinander.

Zwei aneinander gesetzte Tetraeder.
Zwei aneinander gesetzte Tetraeder.

Wenn wir mit platonischen Körpern rechnen, ist für uns vor allem eine Größe wichtig: die Seitenlänge $a$. Mithilfe dieser Angabe können wir Oberfläche und Volumen der Körper berechnen. Schauen wir uns nun die einzelnen Körper genauer an. Die Herleitung der Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen sind sehr anspruchsvoll und werden an dieser Stelle vorerst nicht behandelt.

Tetraeder

Der einfachste platonische Körper ist der Tetraeder, da er aus vier gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt wird (tetra = vier). Sein Netz ist ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck.

Der Tetraeder besitzt...

  • 4 Eckpunkte,
  • 6 Kanten und
  • 4 Seitenflächen.
Der Tetraeder
Der Tetraeder.

Merke

Der Tetraeder ist aus vier gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.

Volumen eines Tetraeders

$V_{Tetraeder} = \frac{\sqrt[]{2}}{12} \cdot a^3 \approx 0,1179 \cdot a^3$

Oberfläche eines Tetraeders

$O_{Tetraeder} = \sqrt[]{3} \cdot a^2 \approx 1,7321 \cdot a^2$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde


Hexaeder (Würfel)

Der Hexaeder, oder auch einfach Würfel, ist der bekannteste platonische Körper. Er ist aus sechs Quadraten zusammengesetzt (hexa = sechs) und ist somit nichts anderes als ein Quader, dessen Seitenlängen alle gleich lang sind.

Der Hexaeder besitzt...

  • 8 Eckpunkte,
  • 12 Kanten und
  • 6 Seitenflächen.
Der Hexaeder
Der Hexaeder.

Merke

Der Hexaeder ist aus sechs Quadraten zusammengesetzt.

Volumen eines Hexaeders

$V_{Hexaeder} = a^3$

Oberfläche eines Hexaeders

$O_{Hexaeder} = 6 \cdot a^2$

Oktaeder

Der Oktaeder ist wie der Tetraeder aus gleichseitigen Dreiecken aufgebaut. Im Gegensatz zum Tetraeder sind es beim Oktaeder aber gleich acht gleichseitige Dreiecke (octa = acht). Der Oktaeder erinnert an zwei quadratische Pyramiden, die an ihren Grundflächen zusammengesetzt wurden.

Der Oktaeder besitzt...

  • 6 Eckpunkte,
  • 12 Kanten und
  • 8 Seitenflächen.
Der Oktaeder
Der Oktaeder.

Merke

Der Oktaeder ist aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.

Volumen eines Oktaeders

$V_{Oktaeder} = \frac{\sqrt[]{2}}{3} \cdot a^3 \approx 0,4714 \cdot a^3$

Oberfläche eines Oktaeders

$O_{Oktaeder} = 2\cdot \sqrt[]{3} \cdot a^2 \approx 3,4641 \cdot a^2$

Pentagondodekaeder

Der Pentagondodekaeder, in der Kurzform auch einfach Dodekaeder, besteht aus zwölf regelmäßigen Fünfecken (dodeka = zwölf). Seine äußere Form erinnert ein wenig an eine Kugel.

Der Dodekaeder besitzt...

  • 20 Eckpunkte,
  • 30 Kanten und
  • 12 Seitenflächen.
Der Dodekaeder
Der Dodekaeder.

Merke

Der Dodekaeder ist aus zwölf regelmäßigen Fünfecken zusammengesetzt.

Volumen eines Dodekaeders

$V_{Dodekaeder} = \frac{15 + 7 \cdot \sqrt[]{5}}{4} \cdot a^3 \approx 7,6631 \cdot a^3$

Oberfläche eines Dodekaeders

$O_{Dodekaeder} = 3 \cdot \sqrt[]{25 + 10 \cdot \sqrt[]{5}} \cdot a^2 \approx 20,6457 \cdot a^2$

Ikosaeder

Der Ikosaeder besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken (eikosa = zwanzig) und hat ebenfalls eine rundliche Erscheinungsform.

Der Ikosaeder besteht aus...

  • 12 Eckpunkte,
  • 30 Kanten und
  • 20 Seitenflächen.
Der Ikosaeder.
Der Ikosaeder.

Merke

Der Ikosaeder ist aus 20 gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.

Oberfläche eines Ikosaeders

$O_{Ikosaeder} = 5 \cdot \sqrt[]{3} \cdot a^2 \approx 8,6603 \cdot a^2$

Volumen eines Ikosaeders

$V_{Ikosaeder} = \frac{5 \cdot (3 + \sqrt[]{5})}{12} \cdot a^3 \approx 2,1817 \cdot a^3$

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Wie groß ist das Volumen eines Ikosaeders mit einer Seitenlänge von $a = 9,5~cm$?

Teste dein Wissen!

Wie groß ist die Oberfläche eines Tetraeders mit der Seitenlänge $a = 6~cm$?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie groß ist die Oberfläche eines Oktaeders mit einer Seitenlänge von $a = 17~cm$?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie viele Kanten besitzt ein Hexaeder (oder auch Würfel)?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

17.06.2024 , von Tilo R.
Wenn es der kleinen Spaß macht zu lernen gibt es nicht besseres
12.06.2024 , von Kacper B.
Sowohl unsere Tochter als auch wir sind mit der initialen Beratung und Nachhilfe sehr zufrieden.
11.06.2024 , von Nadine D.
Unsere Tochter hat ihre Note innerhalb eines halben Jahres um zwei Noten verbessert. Nun können wir flexibel ein weiteres Fach dazu wählen. Das Ergebnis passt und die Flexibilität sorgt dafür, dass der Vertrag über zwei Jahre optimal genutzt werden kann. Absolute Weiterempfehlung!
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7832