Winkelfunktionen im nicht-rechtwinkligen Dreieck berechnen

Aufgabe 1:

Dieses Dreieck hat keinen rechten Winkel. Trotzdem möchten wir die Höhe des Dreiecks berechnen, also wie hoch der Punkt A über der Seite a liegt.

Nun können wir mit dem Sinus die Höhe berechnen. Dafür benötigen wir noch die Größe des Winkels $\beta$. Außerdem die Länge der Hypotenuse. Diese Angaben sind hier gegeben.

$Sinus(\beta) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(26,57^\circ) = \frac{Höhe}{8,94cm}$

$sin(26,57^\circ)\cdot{8,94cm} = Höhe$

${Höhe} \approx {4cm}$

Man hätte die Höhe auch mit dem Tangens berechnen können. Dafür müsste jedoch die Länge der Ankathete des Winkels $\beta$ gegeben sein.

Mit dem Kosinus können wir hier nicht arbeiten, da er das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse angibt, wir aber die Länge der Gegenkathete herausfinden müssen.  

Die Aufgabe könntest du auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dafür würdest du nicht die Angabe des Winkels benötigen, sondern die beiden Längen der zwei Seiten im rechten Winkel. Sieh dir dazu die Seite vom Satz des Pythagoras an. Link: Satz des Pythagoras

Aufgabe 2:

Hierbei möchten wir wieder die Höhe des Punktes $C$ berechnen.
Gegeben ist die Länge der Seite $a = 8,06 cm$, die Länge der Seite $c = 9 cm$ und die Größe des Winkels $\beta$ = 119,72°.

Versuche erst einmal allein in das Dreieck einen rechten Winkel einzuzeichnen.

Nun haben wir unser rechtwinkliges Dreieck. Wie du siehst kann der Winkel auch außerhalb des Dreiecks liegen. Du solltest nur darauf achten, dass hier die Seite c die Länge zwischen Punkt A und B ist. Die Länge zwischen Punkt B und D ist nicht gegeben!

Nun können wir die Angabe $c = 9 cm$ nicht gebrauchen, weil es keine vollständige Kathete aus unserem rechtwinkligen Dreieck ist. Auch der Winkel $119,74^\circ$ liegt nicht in unserem Dreieck. Wir können jedoch mit ihm den Winkel auf der anderen Seite von B berechnen. Eine Gerade hat immer einen Winkel von $180^\circ$, wenn wir nun die $119,74^\circ$ davon abziehen erhalten wir ihn. Also ist $\gamma = 60,24^\circ $ groß.

Wie du siehst haben wir einen Winkel und die Hypotenuse gegeben. Gesucht wird die Gegenkathete. Also rechnen wir mit dem Sinus.

$Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(60,26^\circ) = \frac{Höhe}{8,06cm}$

${sin(60,26^\circ)}\cdot{8,06cm} = Höhe$

${Höhe} \approx {7cm}$

Jetzt fragst du dich sicher, welche der Angaben du benötigst. Die Breite des Sees (15 m) hilft uns nicht weiter, da sie sich auf das nicht rechtwinklige Dreieck bezieht. Also benötigen wir die Größe des Winkels ($30^\circ$) und die Länge der Hypotenuse ($22 m$). Überlege mit welcher Winkelfunktion du rechnen möchtest.

Wir suchen die Gegenkathete von $30^\circ$ und haben die Hypotenuse gegeben. Also rechnen wir mit dem Sinus.

$sin(30^\circ) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(30^\circ) = \frac{Höhe}{22m}$

$sin(30^\circ) \cdot 22m  = 11m$


Der Turm ist $11 m $ hoch.