Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Sinus, Kosinus und Tangens Tangens - Rechnen mit der Winkelfunktion

Tangens - Rechnen mit der Winkelfunktion

Auch zu dieser Winkelfunktion findet ihr hier leicht verständliche Erklärungen.

Definition des Tangens

Der Tangens ist die dritte und letzte Winkelfunktion, die wir bearbeiten. Er beschreibt das Verhältnis zwischen einem Winkel, der Ankathete und der Gegenkathete des Winkels. Der Tangens wird mathematisch $\tan(\alpha)$ abgekürzt.

Merke

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$tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Neben dem Sinus und dem Kosinus gibt es auch noch den Tangens.
Mit dem Tangens rechnest du, wenn du zwei der drei Größen, Winkel, Ankathete des Winkels und Gegenkathete des Winkels gegeben hast und die dritte Größe suchst. Das Vorgehen ist also ähnlich wie beim Sinus und Kosinus.

Tangens: Formeln

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$tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Auf das obere Bild bezogen, ergibt sich mit der Formel: $tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

Methode

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$Winkel = tan^{-1}(\frac{Gegenkathete}{Ankathete})$ 

$Gegenkathete = tan(Winkel)\cdot Ankathete$

$Ankathete= \frac{Gegenkathete}{tan(Winkel)}$

Auf diese Formeln kommst du durch Umformung der Grundformel $tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$. Daher musst du diese Formeln nicht auswendig lernen. Es ist aber dennoch hilfreich sie zu kennen. Vor allem, da du Aufgaben schneller lösen kannst, wenn du nicht erst die Formel umstellen musst.

Beispiele mit Lösungen zur Rechnung mit dem Tangens

Beispiel

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Winkel

Berechnung des Winkels $\alpha$ mit dem Tangens.

$\alpha = ?,  a = 5~km,  b = 7~km$

$tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

$tan(\alpha) = \frac{5~km}{7~km}$

$\alpha = tan^{-1}\frac{5}{7}$

$\alpha\approx{35,54} ^\circ$

Damit ist der Winkel ungefähr $35,5^\circ$ groß.

Beispiel

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Gegenkathete

Berechnung der Länge der Gegenkathete (hier b) mit dem Tangens.

$\alpha = 60 ^\circ,  a = ?,  b = 7,7~mm$

$tan(\alpha) = \frac{a}{b}$


$tan(60 ^\circ) = \frac{a}{7,7~mm}$

${tan(60 ^\circ)}\cdot{7,7~mm} = a$

${a}\approx{13,34~mm}$

Die Gegenkathete ist ca. 13,34 mm lang.

Beispiel

Beispiel

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Ankathete

Berechnung der Länge der Ankathete (hier c) mit dem Tangens.

$\alpha = 50 ^\circ,  a = 5~m,  b = ?$

$tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

$tan(50 ^\circ) = \frac{5}{b}$

${tan(50 ^\circ)}\cdot{b} = 5~m$

$b = \frac{5~m}{tan(50 ^\circ)}$

${b} \approx {4,2~m}$

Die Ankathete ist ca. 4,2 m lang.

Jetzt hast du das nötige Wissen über das Rechnen mit dem Tangens. Überprüfe dein Wissen jetzt mit den Übungsaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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