Suche
Kontakt
>
Mathematik > Geometrie

Wie lauten die Kongruenzsätze?

Wie lauten die Kongruenzsätze? | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den sogenannten Kongruenzsätzen. Doch was bedeutet Kongruenz zunächst überhaupt?

Kongruenz von Figuren

Im Alltag treffen wir oft auf Gegenstände oder Personen, die sich ähnlich sind, wie etwa Zwillinge oder Häuser. Dieses Phänomen können wir auch in der Mathematik beobachten. Hier können Figuren ähnlich bzw. kongruent zueinander sein, so wie in dem ersten Bild. Hier sind die beiden Dreiecke kongruent zueinander.

Zwei ähnliche Dreiecke

Das eine Dreieck ist einfach nur eine Spiegelung des anderen und hat genau dieselben Winkel und Seitenlängen. Es lässt sich problemlos in das andere Dreieck "drehen".

Merke

Objekte nennt man kongruent, wenn sie gleiche Seitenlängen und Winkel haben. Kongruente Objekte lassen sich exakt aufeinander abbilden.

Hierbei ist es nicht wichtig, ob der Gegenstand ein Dreieck, ein Viereck oder anderes Vieleck oder wie er gedreht ist. Solange die Längen der Seiten und die Winkel übereinstimmen, sind sie kongruent.

Kongruenzsätze bei Dreiecken

In speziellen Fällen, wie etwa bei Dreiecken, kann man Merksätze bilden, um die Kongruenz der beiden Dreiecke leichter und ohne großes Rechnen zu ermitteln.

1. Kongruenzsatz: -SSS- Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.

Man versteht darunter also, dass bei identischen Seitenlängen der Dreiecke, beide Dreiecke kongruent sind.

Kongruenzdreieck SSS

2. Kongruenzsatz: -SWS- Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.    

Hier ist gemeint, dass beim gegebenen Dreieck ein Winkel und die zwei Seiten am Winkel kongruent sind. Der Winkel wird dann eingeschlossener Winkel genannt. 

kongruenzsatz 2

3. Kongruenzsatz: -WSW- Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen.

Ähnliches wie die anderen Kongruenzsätze sagt auch dieser aus. So sind zwei Dreiecke kongruent zueinander, wenn zwei Winkel und die eingeschlossene Seite bei beiden kongruent sind.

kongruenzsatz 3

4. Kongruenzsatz: -SSW- Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

Im letzten Satz wird gesagt, dass zwei Seiten und der größte Winkel übereinstimmen müssen. Der Winkel ist hierbei immer in seiner Position gegenüber der längsten Seite des Dreiecks.

kongruenzsatz 4
Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Ähnlichkeit von Figuren

Neben der Kongruenz von Figuren gibt es auch die Ähnlichkeit von Figuren. Anders als bei der Kongruenz müssen hierbei die Seitenlängen nicht gleich sein. Die Winkel sind jedoch auch bei ähnlichen Figuren gleich.

Merke

Ähnliche Abbildungen haben immer dieselben Winkel und dieselbe Form.

Ein Spezialfall der Ähnlichkeit von Figuren ist die zentrische Streckung Hierbei ist die Figur, wie in dem interaktiven Arbeitsblatt, an einem bestimmten Punkt gestreckt. Diese Streckung wird in einem Faktor dargestellt, dem Faktor k oder auch Streckungsfaktor genannt. Wenn also ein Dreieck doppelt so groß wie ein anderes ist, so muss der Faktor k gleich 2 sein. Um zu sehen, ob die Objekte ähnlich sind, benötigen wir also die Formel:

Merke

$\overline {AB} = \overline {A'B'} * k$

Hierbei steht die Angabe $\overline {AB}$ für die Länge der Seite zwischen den Punkten A und B und die Angabe $\overline {A'B'}$ für den Abstand zwischen den Punkten A' und B'. k gibt den Streckungsfaktor an.

Wenn eine der Angaben nicht gegeben ist, kann man selbstverständlich auch mit dem Flächeninhalt die fehlenden Seitenlängen herausfinden. Es gilt, dass der Flächeninhalt des entstehenden Dreiecks genau k²-Mal der Flächeninhalt des Originaldreiecks ist.

Es gilt also die folgende Formel:

Merke

A' = A * k²

Methode

Interaktives Arbeitsblatt:

Schauen wir uns doch mal die Ähnlichkeit von Figuren in GeoGebra an. Du kannst den Schieberegler mit dem Streckungsfaktor k verändern, um das zweite Dreieck anzupassen und so das Gelernte anzuwenden.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Bestimme das Dreieck, dass zu diesem Dreieck kongruent ist.

Kongruenzaufgabe

Teste dein Wissen!

Bestimme ähnliche oder kongruente Figuren zu folgender Abbildung.


Ähnlichkeit Übung 1






(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Was bedeutet Kongruenz bei Dreiecken?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Was sind die Bedingungen dafür, dass Figuren ähnlich zueinander sind?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

13.03.2024
Es ist bereits unser zweites Kind was den Studienkreis in Osnabrück besucht. Wir haben früher angefangen und nicht erst lange Zeit verloren. Dadurch wird dem Thema Schule und Familienleben der Stress genommen. Es ist einfach gut wie die Unterstützung im Studienkreis für Schulkinder ist. Haben Sie Geduld. Wenn es schon sehr wackelig ist mit dem Wissen in einem Fach, wird nicht sofort alles gut. Man ist als Eltern viel zu nah dran um als Lehrperson auch noch dieses Thema zu bespielen. Lassen Sie das Menschen machen die nicht Mama und Papa sind. Das hilft am besten! Vor allem der Beziehung zu Ihrem Kind
12.03.2024 , von Katayun B.
Immer ansprechbar und hilfsbereit
11.03.2024 , von Patrick F.
Gute Beratung, Probleme werden mit den Eltern und dem Schüler gemeinsam besprochen, kleine Gruppen bei der Nachhilfe
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7846