Mathematik > Geometrie

Winkelfunktionen: Textaufgabe mit Lösung

Winkelfunktionen: Textaufgabe mit Lösung! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

Spätestens in der 10. Klasse werden dir in der Geometrie Winkelfunktionen in Form von Textaufgaben begegnen. In diesem Lerntext wird eine Textaufgabe zum Thema Winkelfunktionen gelöst. Dabei wird im Detail auf die Vorgehensweise beim Lösen von solchen Textaufgaben eingegangen.

Lösen von Textaufgaben - Vorgehensweise

Methode

  1. Suche das Dreieck und markiere den rechten Winkel.
  2. Was ist gesucht und was ist gegeben? Markiere dir dies in einer kleinen Skizze.
  3. Benenne die Seiten des Dreiecks (Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse).
  4. Mithilfe der Skizze kannst du nun überlegen, mit welcher Winkelfunktion du arbeiten kannst.
  5. Als Letztes musst du nur noch die Angaben in die Winkelfunktion einsetzen, eventuell ein wenig umstellen, und dann die gesuchte Größe berechnen.

Textaufgabe Winkelfunktionen

tan-1

Ein Mädchen (Standort 1) hat von seiner Oma (Standort 2) einen Ballon geschenkt bekommen. Das Mädchen lässt den Ballon versehentlich los und nun schwebt er 6 m über dem Boden. Wie weit sind die Oma und das Mädchen voneinander entfernt?

Gucke dir das Bild genau an, ergänze fehlende Angaben soweit wie möglich und versuche dann, die Entfernung zwischen Oma und Mädchen mithilfe einer Winkelfunktion zu berechnen. 

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Lösungsweg der Textaufgabe

Wie berechnen wir nun den Abstand zwischen dem Mädchen und seiner Oma? Wir haben, wie du in der unteren Zeichnung siehst, zwei Dreiecke gegeben. In dem kleineren Dreieck ist die Ankathete des Winkels $\alpha$ der Abstand zwischen dem Mädchen und dem Punkt auf dem Boden unter dem Ballon. In dem größeren Dreieck ist die Ankathete des Winkels $\beta$ die Länge des Abstandes zwischen der Oma und dem Punkt auf dem Boden unter dem Ballon. Wenn wir nun diese beiden Längen berechnen und danach die beiden Längen voneinander subtrahieren, haben wir den Abstand zwischen Oma und Mädchen.

$\rightarrow$ Abstand zwischen Oma und Mädchen = (Länge von dem Punkt auf dem Boden unter dem Ballon bis zur Oma) - (Länge von dem Punkt auf dem Boden bis zum Mädchen)

tan-3

Wie berechnen wir nun die Länge des Abstandes zwischen dem Mädchen und dem Punkt auf dem Boden unter dem Ballon? Wir betrachten das Dreieck vom Winkel $\alpha$ aus. Wir kennen die Länge der Gegenkathete und suchen die Länge der Ankathete. Somit sind wir beim Tangens, denn nur in der Winkelfunktion Tangens kommen Gegenkathete und Ankathete vor.

Gut zu wissen

Zur Vertiefung der Winkelfunktionen schaue unbedingt in den Lerntexten zu den drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens rein. Dort findest du auch jeweils zu allen drei Winkelfunktionen Aufgaben zum Nachvollziehen dieses Themas.

$\alpha = 40,6 ^\circ;  Gegenkathete = 6~m;  Ankathete =~?$

$tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

$tan(40,6 ^\circ) = \frac{6~m}{Ankathete}$

${tan(40,6 ^\circ)}\cdot{Ankathete} = 6~m$

$Ankathete = \frac{6~m}{tan(40,6 ^\circ)}$

${x} \approx {7~m}$

Der Abstand zwischen dem Mädchen und dem Punkt auf dem Boden unter dem Ballon beträgt also ungefähr $7$ Meter.

Uns fehlt nun noch der Abstand zwischen dem Punkt auf dem Boden unter dem Ballon und der Oma. Diesen Abstand können wir analog berechnen.

 

tan-2

Wir kennen $\beta$ und die Länge der Gegenkathete zu $\beta$. Gesucht ist die Länge der Ankathete zu $\beta$.

$\beta= 24,78^\circ;  Gegenkathete = 6~m,  Ankathete =~?$

$tan(\beta) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

$tan(24,78^\circ) = \frac{6~m}{Ankathete}$

${tan(24,78^\circ)}\cdot{Ankathete} = 6~m$

$Ankathete = \frac{6~m}{tan(24,78^\circ)}$

${x} \approx {13~m}$

Der Abstand zwischen der Oma und dem Punkt auf dem Boden unter dem Ballon beträgt also ungefähr $13$ Meter.

Wenn wir nun diese beiden Längen voneinander subtrahieren, erhalten wir die Entfernung zwischen dem Mädchen und seiner Oma.

$13~m - 7~m = 6~m$

Die Oma und das Mädchen stehen $6$ Meter voneinander entfernt.

Du hättest die Aufgabe im Übrigen auch anders lösen können. Häufig gibt es mehrere Möglichkeiten. Wichtig ist, dass du am Ende auf das richtige Ergebnis kommst.

Nun hast du einen Überblick darüber bekommen, wie man mit den Winkelfunktionen rechnet. Um dein Wissen zu vertiefen, teste dich in unseren Aufgaben zur Winkelfunktion mit Sinus, Kosinus und Tangens. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Wie ist die Vorgehensweise beim Lösen von Textaufgaben?

Teste dein Wissen!

Wir betrachten einen Fernseher, dessen Bildschirm 40 cm hoch und 120 cm breit ist. Ein Elektriker möchte nun wissen, wie lang die Diagonale des Fernsehers ist. Kannst du ihm helfen?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie hoch ist der Dachstuhl von diesem etwas krummen Haus? Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

tricks aufgabe 7

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Ein Flugzeug ist im Landeanflug. Es befindet sich 30 Meter über dem Boden und fliegt in einem Winkel von $\alpha~$ = 30° auf den Boden zu. 

Wie lang ist die Strecke, die das Flugzeug bis zur Landung noch fliegen muss?

tan aufgabe 2

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

11.09.2023 , von Swetlana P.
Frau Becker geht auf Kunden ein. Sie ist sehr freundlich, die Lehrer sind professionell, nicht teuer.
11.09.2023 , von Eva B.
Sie haben mit viel Geduld ihn geholfen….
11.09.2023 , von Marioara N.
Note 1 wie in der Schule!
Mathematik > Geometrie

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

Dreieck mit H?he
Höhensatz des Euklid verstehen und beweisen
Kathetensatz des Euklid
Kathetensatz des Euklid - Was ist das?
Viereck mit zwei rechten Winkeln.
Satz des Pythagoras - Textaufgabe mit Lösungen
Rechtwinkliges Dreieck.
Was ist der Satz des Pythagoras? - Formel und Beweis
Gr??en im Kegelstumpf
Kegelstumpf: Höhe, Volumen und Flächen berechnen
Aufbau eines Kreiskegels.
Kegel: Oberfläche und Volumen berechnen
Kugelsegment
Kugelsegment und Kugelausschnitt
Der Hexaeder
Was sind platonische Körper?
Pyramidenstumpf
Pyramidenstumpf: Volumen und Oberfläche berechnen
Der Quader.
Quader und Würfel: Formeln für Fläche und Volumen
Die Kugel.
Umfang, Oberfläche und Volumen einer Kugel: Formeln
Beispiel zweier Prismen
Was ist ein Prisma? - Volumen und Oberfläche berechnen
Pyramiden im Quader.
Pyramide: Oberfläche und Volumen berechnen
Aufbau eines Zylinders
Zylinder: Oberfläche und Volumen berechnen
scheitelwinkel-2
Winkelarten und Winkeltypen im Überblick
winkel-5
Winkel messen mit einem Geodreieck
winkel-alltag
Was ist ein Winkel und welche Winkelarten gibt es?
winkel zeichnen 4
Winkel zeichnen mit einem Geodreieck
innenwinkelsumme-dreieck
Winkel berechnen - Formel und Aufgaben
uebersicht-winkel.
Winkelarten und Winkeltypen bestimmen
Achsenspiegelung
Achsenspiegelung: Punkte an einer Achse spiegeln
diagonale
Diagonale von Vierecken und Quadraten berechnen
gerade
Gerade, Strecke, Strahl zeichnen - Einführung in die Geometrie
sssdreieckskonstruktion3
Kreis und Dreieck mithilfe eines Zirkels zeichnen
lot faellen 1
Lot fällen - Schritt für Schritt erklärt
mittelsenkrechte-halbieren einer strecke
Wie zeichnet man eine Mittelsenkrechte?
parallel Geraden
So zeichnest du parallele Geraden
punktspiegelung 3
Punktspiegelung - Schritt für Schritt erklärt
Punktspiegelung_zentrum_2
Spiegelpunkt und Spiegelachse konstruieren
punktspiegelung_2_neu
Unterscheidung Achsen- und Punktspiegelung
winkelhalbiente_7
Winkelhalbierende konstruieren und zeichnen
umfangswinkelsatz_beweis2
Peripheriewinkelsatz und Umfangswinkelsatz - Erklärung und Beweis
sssdreieckskonstruktion3
Kongruenzsätze: Dreiecke konstruieren - Erklärung
Bitte Beschreibung eingeben
Kosinus - Rechnen mit der Winkelfunktion
leicht erkl?rt text 1
Sinus - Rechnen mit der Winkelfunktion
Bitte Beschreibung eingeben
Tangens - Rechnen mit der Winkelfunktion
leicht erkl?rt text 1
Winkelfunktionen in rechtwinkligen Dreiecken
tricks mit 10
Winkelfunktionen im nicht-rechtwinkligen Dreieck berechnen
tan-1
Winkelfunktionen: Textaufgabe mit Lösung
leicht erkl?rt text 1
Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus & Tangens (Formeln)
Zwei ?hnliche Dreiecke
Wie lauten die Kongruenzsätze?
Symmetrie Achsensymmetrie anhand eines Vielecks
Symmetrie von Figuren: Erklärung und Abbildungen
Strahlens?tze Anwendungsbeispiele
Strahlensätze - Aufgaben mit Lösungen
Zweiter Strahlensatz
Erster und zweiter Strahlensatz: Formel und Erklärung
Zentrische Streckung Beispiel
Zentrische Streckung - Einführung & Erklärung
Allgemeine Darstellung eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang von Dreiecken berechnen
Parallelogramm mit der H?he ha
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms berechnen
Fl?cheninhalt eines Parallelogramms
Trapez: Flächeninhalt und Umfang berechnen
drache_bezeichnungen
Drachenviereck - Flächeninhalt und Konstruktion
Von links nach rechts: Quadrat, Parallelogramm, Dreieck, Trapez
Figuren und Flächen in der Mathematik - Eine Einführung
Strecke zwischen A und B
Was ist eine Strecke, eine Halbgerade und eine Gerade?
Eine allgemeine Raute
Raute - Eigenschaften, Flächeninhalt, Umfang berechnen
vielecke
Regelmäßige Vielecke konstruieren und berechnen
zusammengestzte__flaechen_beispiel
Zusammengesetzte Flächen - Flächeninhalt und Umfang
Quadrat (links) und Rechteck (rechts)
Rechtecke und Quadrate: Umfang und Flächeninhalt berechnen
Dreieck mit verl?ngerten Seiten
Ankreis eines Dreiecks konstruieren - Schritt für Schritt erklärt
Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
Besondere & ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Beispiel f?r ein gleichseitiges Dreieck
Dreiecksarten - Namen und Eigenschaften
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
So konstruierst du Umkreis und Inkreis eines Dreiecks
Dreieck mit H?he
Diese Formeln brauchst du zum Dreieck berechnen!
Rechteck 6 x 4
Dimensionen der Geometrie: Flächen und ihre Berechnung
Schr?gbild eines W?rfels
Körpernetze erstellen - Beispiele und Übungsaufgaben
Schr?gbild eines allgemeinen Quaders
Schrägbilder einfacher Figuren zeichnen
Allgemeines Viereck
Vierecke - Eigenschaften und Arten
Schr?gbild eines allgemeinen Quaders
Dimensionen der Geometrie: Volumen berechnen
Schr?gbild eines allgemeinen Quaders
Quader: Fläche und Volumen berechnen
regelm??iges Oktagon
Vielecke: Arten und Eigenschaften
geraden_kreis
Geraden, Strecken und Winkel am Kreis
pi-beweis
Was ist die Kreiszahl Pi? - Erklärung und Herleitung
satz-des-thales
Satz des Thales - Erklärung und Beweis
kreis-1
Kreis - So berechnest du Flächeninhalt und Umfang!
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7844