Mathematik > Geometrie

Kosinus - Rechnen mit der Winkelfunktion

Inhaltsverzeichnis:

SinusKosinus und Tangens kommen insbesondere in der Geometrie für Berechnungen an Dreiecken vor - sie begegnen dir aber auch in der Analysis.

Zunächst widmen wir uns der Definition des Kosinus.

Definition des Kosinus

Der Kosinus ist die zweite Winkelfunktion, die wir behandeln. Er gibt das Verhältnis zwischen Winkel, Ankathete und Hypotenuse an. Der Kosinus wird mathematisch $\cos(\alpha)$ abgekürzt.

Merke

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$cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Mit dem Kosinus kannst du rechnen, wenn du zwei der drei Größen, Winkel, Ankathete und Hypotenuse gegeben hast und die dritte suchst. Das Vorgehen ist also ähnlich wie beim Sinus, nur mit der Ankathete anstatt der Gegenkathete eines Winkels.

cos-1

$cos (\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Auf das obere Bild bezogen, ergibt sich aus der Formel: $cos(\alpha) = \frac{c}{b}$

Methode

Methode

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$Winkel = cos^{-1}(\frac{Ankathete}{Hypotenuse})$ 

$Ankathete = cos(Winkel)\cdot Hypotenuse$

$Hypotenuse = \frac{Ankathete}{cos(Winkel)}$

Auf diese Formeln kommst du durch Umformung der Grundformel $cos (\alpha)= \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$. Daher musst du diese Formeln nicht auswendig lernen. Es ist aber dennoch hilfreich sie zu kennen. Vor allem, da du Aufgaben schneller lösen kannst, wenn du nicht erst die Formel umstellen musst.

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Beispiele zum Rechnen mit dem Kosinus

Beispiel

Beispiel

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Winkel

Berechnung des Winkels $\alpha$ mit dem Kosinus.


$\alpha = ?$,  Ankathete= $10~cm$,  Hypotenuse =$ 2~dm$

$cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$cos(\alpha) = \frac{10cm}{2dm} = \frac{10cm}{20cm}$

$\cos ^{-1} (cos (\alpha))= cos^{-1}(\frac{10cm}{20cm})$

$\alpha = cos^{-1}(\frac{10}{20})$

$\alpha = 60^\circ$

$\frac{cm}{cm}$ kürzt sich weg. Wir müssen den $cos^{-1}$ anwenden, da $\alpha$ allein stehen muss.

Somit gilt: $\alpha$ = $60^\circ$

Beispiel

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Ankathete

Berechnung der Ankathete (hier c) mit dem Kosinus.

$\alpha = 80 ^\circ$,  Ankathete = ?,  Hypotenuse = $6,7mm$

$cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$cos(80^\circ) = \frac{c}{6,7mm}$

${cos(80^\circ)}\cdot{6,7mm} = c$

${c} \approx {1,16~mm}$

Die Ankathete ist also 1,16 mm groß.

Beispiel

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Hypotenuse

Berechnung der Hypotenuse (hier b) mit dem Kosinus.

$\alpha = 30^\circ$,  Ankathete = $8~cm$,  Hypotenuse = ?

$cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$cos(30^\circ) = \frac{8~cm}{b}$

${cos(30^\circ)}\cdot{b} = 8~cm$

$b = \frac{8~cm}{cos(30^\circ)}$

${b} \approx {9,24~cm}$

Die Hypotenuse ist ca. 9,24 cm lang.

Jetzt weißt du, wie man mit der Winkelfunktion Kosinus umgeht. Dein neues Wissen kannst du nun an unseren Übungsaufgaben testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Wie gehst du vor, um die Höhe des grünen Turms zu bestimmen?

kosinus aufgabe 1a



a und b sind jeweils 15 m lang und c ist 14 m lang.

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Welches Verhältnis beschreibt der Kosinus von $\alpha$?

Kosinus aufgabe 2

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Berechne zuerst die Größe des Winkels $\beta$, um danach die Größe des Winkels $\gamma$ zu bestimmen. Markiere die richtige Antwort. (Runde auf zwei Nachkommastellen.)

Kosinus aufgabe 3

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Berechne die Länge der Seite b. Die Ankathete ist 6 cm lang.
Wenn du möchtest, kannst du auch noch die Länge der Seite c berechnen.
Markiere die richtige Lösung!

kosinus aufgabe 4

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