Lineare Funktionen - Definition und Erklärung

Lineare Funktionen: Beispielaufgabe

Kosten pro gekaufter Kugel Eis

Wir wollen eine Funktion erstellen, welche das Verhältnis zwischen der Anzahl gekaufter Kugeln Eis zum Preis abbildet. 
Nehmen wir an, eine Kugel Eis kostet $0,80$ €. Nun können wir aufgrund dieser Information die Kosten für zwei, drei, vier usw. Kugeln ausrechnen.

Wir haben die Kosten im Verhältnis zur Anzahl der Kugeln in eine Tabelle eingetragen. Somit erhalten wir die dazugehörige Wertetabelle.

Dieses Verhältnis zwischen Kosten und Anzahl können wir nun in einer Funktion abbilden. Da die Kosten proportional ansteigen, erhalten wir eine lineare Funktion.

Zeichne die dazugehörige Funktion zuerst einmal selbst! Du kannst die Werte aus der Tabelle einfach ablesen und in ein passendes Koordinatensystem einzeichnen. 

So sollte die Funktion aussehen:

Die Abbildung zeigt eine lineare Funktion, die das Verhältnis zwischen der Anzahl der Kugeln und dem Preis darstellt.

Auf der $x$-Achse ist die Anzahl der Kugeln abgebildet und auf der $y$-Achse die Kosten. Die Funktion bildet das Verhältnis dazwischen ab.

Wir können sehen, dass die Funktion die Punkte der Wertetabelle miteinander verbindet und eine gerade Linie entsteht.

Lineare Funktionen: Besonderheiten der Variablen

$n$: Der y-Achsenabschnitt - der Schnittpunkt mit der y-Achse - liegt bei null, da keine Kugel Eis auch nichts kostet.

Allgemein zeigt der y-Achsenabschnitt das Verhältnis zwischen keinem $x$ und $y$.

$m$: Die Steigung ist positiv - je größer die $x$-Werte werden, desto größer werden die $y$-Werte. Natürlich, denn je mehr Kugeln gekauft werden, umso teurer wird es.

Die Steigung kann auch negativ sein. Dann ist $m$ ein negativer Wert.

$x$ und $y$: Die zwei Variablen sind hierbei die Anzahl der Kugeln und der Preis. Beide Variablen stehen im Verhältnis zueinander. Dabei ist $x$ die unabhängige Variabel, auch Funktionsargument genannt, und $y$ die abhängige Variable.

Lineare Funktionsgleichung bestimmen

Wir können die Funktionsgleichung, die das Verhältnis zwischen Kugeln Eis und Preis wiedergibt, bestimmen.
Dies hat den Vorteil, dass man sowohl für jede beliebe Anzahl an Kugeln den Preis ausrechnen kann, als auch für jeden beliebigen Preis die Anzahl der Kugeln ermitteln kann.
Dafür nehmen wir uns zwei beliebige Punkte, zum Beispiel $P(0/0)$ und $Q(1/0,8)$. Die Punkte setzen wir jetzt nacheinander in die "leere" lineare Gleichung $f(x) = m\cdot x +n$ ein.

1. $P(0/0)$ 
Dieser Punkt besagt, dass der y-Achsenabschnitt, also $n$, gleich null ist. Wie oben schon erwähnt, ist der Preis für keine Kugel auch $0 €$.
Mathematisch können wir den Punkt einfach einsetzen. Dann erhalten wir die Gleichung:
$0 = m \cdot 0 + n$
$0 = n$
Also fällt das $n$ aus der Gleichung weg.

2. $Q(1/0,8)$
Nun zum zweiten Punkt $Q(1/0,8)$. Sachlich gesehen hat dieser Punkt die Bedeutung, dass eine Kugel $0,80 €$ kostet. Daher muss die Steigung $0,8$ betragen.
Schauen wir uns dies mathematisch an, indem wir den Punkt in die Gleichung einsetzen.
$y = m \cdot x$
$0,8 = m \cdot 1$
$0,8 = m$
Somit haben wir nun auch mathematisch gezeigt, dass die Steigung $0,8$ beträgt.

Nun müssen wir die zwei errechneten Variablen noch in unsere Gleichung einsetzen.
Daraus folgt, dass unsere lineare Funktionsgleichung $f(x) = 0,8 \cdot x$ ist.

Nun kennst du die Definition und Anwendung linearer Funktionen und Funktionsgleichungen. Ob du diese Erklärungen verstanden hast, kannst du mit den Übungsaufgaben überprüfen. Viel Spaß dabei!