Lineare Funktionen - Definition und Erklärung
Funktionen sind ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. Eine Art sind die linearen Funktionen (lineare Zuordnungen), diese Art von Funktionsgleichungen werden wir dir hier im Detail erklären.
Linearen Funktionen: Definition
Eine Funktion stellt immer das Verhältnis zweier Variablen dar. Meist werden die zwei Variablen $x$ und $y$ genannt. Dieses Verhältnis kann dann durch eine Gleichung ausgedrückt und in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Lineare Funktionen beschreiben immer ein lineares Verhältnis, bzw. eine lineare Zuordnung zwischen zwei Variablen. Daher sind ihre Graphen eine gerade Linie im Koordinatensystem.
Mathematisch ausgedrückt geht es um folgenden Zusammenhang:
Merke
Merke
$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$
$\textcolor{red}{m : Steigung}$
$\textcolor{blue}{n : y-Achsenabschnitt}$
$x :$ unabhängige Variable
$f(x) = y :$ abhängige Variable
Dabei sind alle Variablen, also $x$ und $y$ ( $y$ ist das Gleiche wie $f(x)$ ), $m$ und $n$, beliebige Zahlen. Je nach Besonderheit der Zahlen, sehen die Funktionen dann etwas anders aus. Es handelt sich jedoch immer um eine gerade Linie!
Schauen wir uns ein Beispiel an.
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Lineare Funktionen: Beispielaufgabe
Kosten pro gekaufter Kugel Eis
Wir wollen eine Funktion erstellen, welche das Verhältnis zwischen der Anzahl gekaufter Kugeln Eis zum Preis abbildet.
Nehmen wir an, eine Kugel Eis kostet $0,80$ €. Nun können wir aufgrund dieser Information die Kosten für zwei, drei, vier usw. Kugeln ausrechnen.
| Anzahl der Kugeln | Kosten (in €) |
| 0 | 0 |
| 1 | 0,80 |
| 2 | 1,60 |
| 3 | 2,40 |
| 4 | 3,20 |
| 5 | 4,00 |
| 6 | 4,80 |
| 7 | 5,60 |
Wir haben die Kosten im Verhältnis zur Anzahl der Kugeln in eine Tabelle eingetragen. Somit erhalten wir die dazugehörige Wertetabelle.
Dieses Verhältnis zwischen Kosten und Anzahl können wir nun in einer Funktion abbilden. Da die Kosten proportional ansteigen, erhalten wir eine lineare Funktion.
Zeichne die dazugehörige Funktion zuerst einmal selbst! Du kannst die Werte aus der Tabelle einfach ablesen und in ein passendes Koordinatensystem einzeichnen.
Methode
Methode
In der Wertetabelle stehen die x-Werte links und die dazugehörigen y-Werte rechts. Bei unserem Beispiel ordnen wir die Anzahl der Kugeln den Kosten zu. Somit muss die Anzahl der Kugeln dem $x-Wert$ entsprechen, denen ein $y$, der Preis, zugeordnet wird.
In einem Koordinatensystem verläuft immer von links nach rechts die $x-Achse$ und von unten nach oben die $y-Achse$.
Wir nehmen nun z.B. den Punkt $(2/1,6)$ und suchen zuerst die $2$ auf der x-Achse und ziehen gedanklich eine Linie nach oben und dann die $1,6$ auf der y-Achse und ziehen wieder eine gedanklich Linie nach rechts. Da wo sich die beiden "Gedankenlinien" treffen setzten wir den Punkt.
$P (x-Wert / y-Wert)$
Dies machen wir nun mit mehreren Punkten, verbinden diese und erhalten eine Funktion.
So sollte die Funktion aussehen:
Auf der $x$-Achse ist die Anzahl der Kugeln abgebildet und auf der $y$-Achse die Kosten. Die Funktion bildet das Verhältnis dazwischen ab.
Wir können sehen, dass die Funktion die Punkte der Wertetabelle miteinander verbindet und eine gerade Linie entsteht.
Lineare Funktionen: Besonderheiten der Variablen
$n$: Der y-Achsenabschnitt - der Schnittpunkt mit der y-Achse - liegt bei null, da keine Kugel Eis auch nichts kostet.
Allgemein zeigt der y-Achsenabschnitt das Verhältnis zwischen keinem $x$ und $y$.
$m$: Die Steigung ist positiv - je größer die $x$-Werte werden, desto größer werden die $y$-Werte. Natürlich, denn je mehr Kugeln gekauft werden, umso teurer wird es.
Die Steigung kann auch negativ sein. Dann ist $m$ ein negativer Wert.
$x$ und $y$: Die zwei Variablen sind hierbei die Anzahl der Kugeln und der Preis. Beide Variablen stehen im Verhältnis zueinander. Dabei ist $x$ die unabhängige Variabel, auch Funktionsargument genannt, und $y$ die abhängige Variable.
Lineare Funktionsgleichung bestimmen
Wir können die Funktionsgleichung, die das Verhältnis zwischen Kugeln Eis und Preis wiedergibt, bestimmen.
Dies hat den Vorteil, dass man sowohl für jede beliebe Anzahl an Kugeln den Preis ausrechnen kann, als auch für jeden beliebigen Preis die Anzahl der Kugeln ermitteln kann.
Dafür nehmen wir uns zwei beliebige Punkte, zum Beispiel $P(0/0)$ und $Q(1/0,8)$. Die Punkte setzen wir jetzt nacheinander in die "leere" lineare Gleichung $f(x) = m\cdot x +n$ ein.
1. $P(0/0)$
Dieser Punkt besagt, dass der y-Achsenabschnitt, also $n$, gleich null ist. Wie oben schon erwähnt, ist der Preis für keine Kugel auch $0 €$.
Mathematisch können wir den Punkt einfach einsetzen. Dann erhalten wir die Gleichung:
$0 = m \cdot 0 + n$
$0 = n$
Also fällt das $n$ aus der Gleichung weg.
2. $Q(1/0,8)$
Nun zum zweiten Punkt $Q(1/0,8)$. Sachlich gesehen hat dieser Punkt die Bedeutung, dass eine Kugel $0,80 €$ kostet. Daher muss die Steigung $0,8$ betragen.
Schauen wir uns dies mathematisch an, indem wir den Punkt in die Gleichung einsetzen.
$y = m \cdot x$
$0,8 = m \cdot 1$
$0,8 = m$
Somit haben wir nun auch mathematisch gezeigt, dass die Steigung $0,8$ beträgt.
Nun müssen wir die zwei errechneten Variablen noch in unsere Gleichung einsetzen.
Daraus folgt, dass unsere lineare Funktionsgleichung $f(x) = 0,8 \cdot x$ ist.
Nun kennst du die Definition und Anwendung linearer Funktionen und Funktionsgleichungen. Ob du diese Erklärungen verstanden hast, kannst du mit den Übungsaufgaben überprüfen. Viel Spaß dabei!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
In den Probestunden kann Ihr Kind uns testen und die Nachhilfe im Studienkreis kennenlernen.
In einem unverbindlichen Beratungsgespräch mit Ihnen, finden wir gemeinsam die optimale Förderung für Ihr Kind.
Finden Sie den Studienkreis in Ihrer Nähe!
Geben Sie hier Ihre PLZ oder Ihren Ort ein.
Füllen Sie einfach das Formular aus. Den Gutschein sowie die Kontaktdaten des Studienkreises in Ihrer Nähe erhalten Sie per E-Mail. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis setzt sich mit Ihnen in Verbindung und berät Sie gerne!
Vielen Dank für Ihr Interesse!
Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.