Schnittpunkt zweier linearer Funktionen berechnen

Beispielaufgabe: Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Die beiden Funktionen $\textcolor{green}{ f(x) = 2\cdot x + 3}$ und $\textcolor{red}{g (x) = 0,5\cdot x + 5}$ sind gegeben und ihr Schnittpunkt soll bestimmt werden.

Abbildung zwei lineare Funktionen mit Schnittpunkt

1. Funktionsgleichungen gleichsetzen:

$\textcolor{green}{ f(x) = 2\cdot x + 3}$
$\textcolor{red}{ g(x) = 0,5\cdot x + 5}$

$ \textcolor{green}{2\cdot x + 3} = \textcolor{red}{0,5\cdot x + 5}$

Wir setzen die beiden Gleichungen gleich, da wir den Punkt herausfinden möchten, den beide Funktionen miteinander gemeinsam haben.

2. X-Wert ermitteln:

Wir rechnen mit den gleichgesetzten Gleichungen weiter und formen die Gleichung so um, dass $x$ nur auf einer Seite steht.
$ 2\cdot x + 3 = 0,5\cdot x + 5$                                    $|-0,5\cdot x$
$ 2\cdot x -0,5\cdot x + 3 = 0,5\cdot x-0,5\cdot x + 5$ 
$ 1,5\cdot x + 3 = 5$

Alle x-Werte stehen jetzt auf der linken Seite des Gleichheitszeichens. Die Zahlenwerte auf der linken Seite müssen jetzt noch auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens gebracht werden. Es ergibt sich:

$ 1,5\cdot x + 3 = 5$       $|-3$
$ 1,5\cdot x  = 2$

Da wir aber nicht 1,5 von $x$ suchen, sondern nur ein $x$, müssen wir die Gleichung noch durch $1,5$ teilen, um auf den gesuchten x-Wert zu kommen:

$ 1,5\cdot x = 2$               $|:1,5$
$x = \frac {2}{1,5} = \frac {4}{3} \approx 1,33$

3. Y-Wert des Schnittpunkts durch Einsetzen ermitteln:
Den x-Wert des Schnittpunkts haben wir schon berechnet. Um den dazugehörigen y-Wert auszurechnen, müssen wir den x-Wert einfach in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen:

$\textcolor{green}{ f(x) = 2\cdot x + 3} $
$f(\frac{4}{3}) = 2\cdot \frac {4}{3} + 3 = \frac {17}{3}$

$\rightarrow S(\frac{4}{3}/\frac{17}{3})$

Wichtig ist dabei, dass wir mit den genauen Zahlen, also den Brüchen rechnen, um Rundungsfehler zu vermeiden.

4. Probe:
Wir können ganz leicht überprüfen, ob wir uns an einer Stelle verrechnet haben.
Dafür setzen wir den x-Wert in die andere Gleichung ein und überprüfen, ob wir den gleichen y-Wert erhalten.

$\textcolor{red}{ g (x) = 0,5\cdot x + 5}$
$g (\frac{4}{3}) = 0,5 \cdot \frac{4}{3} + 5 = \frac{17}{3} \approx 5,67$

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du die Vorgehensweise richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!