Mathematik > Funktionen

Lineare Funktion bestimmen mithilfe von zwei Punkten

Inhaltsverzeichnis:

Vorgehensweise zum Bestimmen einer linearen Funktionsgleichung mit zwei Punkten

In diesem Lerntext erklären wir dir, wie du aus zwei Punkten eine lineare Funktionsgleichung bestimmst. 

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Vorgehensweise

1. Die zwei gegebenen Punkte in die allgemeine Form einsetzen.
2. Die beiden Gleichungen untereinanderschreiben.
3. Das Gleichungssystem lösen, sodass wir den Wert der ersten Variable erhalten.
4. Den Wert der Variable in eine der zwei Gleichungen einsetzen und ausrechnen.
5. Den y-Achsenabschnitt und die Steigung in die allgemeine Form einsetzen.   $\rightarrow$ Wir erhalten die gefragte Funktionsgleichung.
6. Mache eine Probe!

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Beispielaufgabe zum Bestimmen einer linearen Funktionsgleichung mit zwei Punkten

Wir haben die Punkte $P$ und $Q$ gegeben: $P(-2/6)$   $Q(2/0)$.
Um mit ihnen die Funktionsgleichung zu bestimmen, setzen wir die beiden Punkte jeweils in die allgemeine Form $f(x) = m \cdot x +n$ ein.

1. Die Punkte in die allgemeine Form einsetzen:

$P(-2/6)$
$f(-2) = y = m \cdot (-2) +n = 6$

$Q(2/0)$
$f(2) = y = m \cdot 2 +n = 0$

2. Die beiden Gleichungen untereinander schreiben:

$ (-2)\cdot m +n = 6$
$~~~~~~ 2\cdot m +n = 0$

Wir suchen die beiden Variablen $n$ und $m$ und haben zwei Gleichungen gegeben. Daraus folgt, dass wir beide Variablen bestimmen können.
Um das Gleichungssystem zu lösen, müssen wir die beiden Gleichungen miteinander verrechnen. Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie Gleichungssysteme gelöst werden, schaue noch einmal nach, wie man Gleichungssysteme löst.

3. Das Gleichungssystem lösen.

Das Ziel beim Lösen der Gleichungssysteme sollte sein, dass eine der beiden Variablen wegfällt und so nur noch eine übrig bleibt. Diese können wir dann bestimmen. Wir verwenden bei unserem Beispiel das Additionsverfahren zum Lösen von Gleichungssystemen.

$ ~~~~-2\cdot m +n = 6$
$+~~~~~~2\cdot m +n = 0$
$\overline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~2\cdot n=6~}$

Wir erhalten eine Gleichung mit einer Variablen, hier $n$. Dies kann nun gelöst werden.


$2\cdot n=6$     $|:2$
$\textcolor{blue}{n = 3}$

Wir haben den Wert für den y-Achsenabschnitt $n$ berechnet.

4. Den Wert der Variable in eine der beiden Gleichungen einsetzen:

Wie können wir die Steigung berechnen? Dafür muss $\textcolor{blue}{n = 3}\;$ in eine der beiden Gleichungen eingesetzt werden. Wir verwenden hier die zweite Gleichung:

$ 2\cdot m +\textcolor{blue}{n} = 0$
$ 2\cdot m + \textcolor{blue}{3}= 0$     $|-3$
$2\cdot m = 0-3$     $|:2$
$m = \frac{- 3}{2} $
$\textcolor{green}{m=- 1,5}$

Also beträgt die Steigung $- 1,5$.

5. Die beiden Variablen in die allgemeine Form einsetzen:

Wir haben beide Variablen $m$ und $n$ ermittelt und müssen diese jetzt nur noch in die allgemeine Form einsetzen, um die Gleichung zu erhalten, die durch beide Punkte verläuft:

$f(x) = m \cdot x +n$
$f(x) = \textcolor{green}{- 1,5} \cdot x + \textcolor{blue}{3}$

6. Probe:

Es ist nicht immer erforderlich eine Probe zu machen, jedoch gibt sie dir die Sicherheit, dass die von dir errechneten Werte der Richtigkeit entsprechen. Um eine Probe durchzuführen gibt es verschiedene Wege. In der folgenden Methode zeichnest du eine Abbildung der Gleichung mithilfe der beiden gegebenen Punkte. Aus dem entstehenden Funktionsgraphen kannst du dann die Steigung und den y-Achsenabschnitt ablesen, welche beide den ermittelten Werten aus deiner Rechnung entsprechen sollten.

ablesen-5a
Graph der Funktion

Die beiden Punkte $P$ und $Q$ wurden im Koordinatensystem eingetragen und durch eine Gerade verbunden.

Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse im Punkt $R(0/3)$. $\rightarrow n=3$
Auch die Steigung können wir überprüfen. Wenn wir eine Einheit in x-Richtung nach rechts gehen, müssen wir 1,5 Einheiten nach unten. $ \rightarrow m=-1,5$

Überprüfe mit den Übungsaufgaben, ob du eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen kannst. Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Bestimme mithilfe der Punkte $C(3/38)$ und $D(-1/34)$ die Funktionsgleichung!

Teste dein Wissen!

Welche Funktionsgleichung ergibt sich aus den Punkten $A(4/0)$ und $B(0/-2)$?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Die Punkte $P(-0,5/3)$ und $Q(-2,5/-3)$ sind gegeben. Bestimme rechnerisch die dazugehörige lineare Funktionsgleichung und markiere die richtige Lösung!

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Bestimme mit den Punkten $E(3/40)$ und $F(2,2/20)$ die Funktionsgleichung. Markiere die richtige Antwort!

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

Erika F., vom 2020-11-19
Mein Kind ist erst kurz dabei geht sehr gerne hin alle sehr freundlich für alles Andere ist es noch zu früh
Nadine N., vom 2020-11-17
Meine Tochter geht gern hin.
anonymisiert, vom 2020-11-16
Sehr gute rundum Betreuung!
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
n-tv Siegel Testsieger Nachhilfe Studienkreis 2019
TÜV-Gütesiegel - Servicequalität Nachhilfe
Service-Champions - Studienkreis - Nr. 1 der Nachhilfeanbieter
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Wir benötigen Ihre Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um den am besten geeigneten Lehrer zu ermitteln. Ihre Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir Ihnen telefonisch stellen könnten:

  • "Für welche Tage und Uhrzeiten wünschen Sie Nachhilfe?
  • "In welchem Fach und bei welchen Themen wird Unterstützung benötigt?"

Bereits registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7757