Steigung einer linearen Funktion bestimmen- Steigungsdreieck

Beispielaufgabe Steigungsdreieck

Wir bestimmen die Steigung des Graphen. Drucke dir das Bild am besten aus, und versuche zuerst allein die Punkte der Vorgehensweise abzuarbeiten.

1. Zwei Punkte einzeichnen:

Abbildung Punkte einzeichnen

Wir können beliebige Punkte auf dem Graphen markieren. Es ist jedoch einfacher, wenn die Punkte ganze $x-$ und $y-Werte$ haben.

2. Steigungsdreieck einzeichnen:

Abbildung Steigungsdreieck einzeichnen

Wir bilden mit dem Graphen und den zwei markierten Punkten ein Dreieck. Dabei entsteht ein Hilfspunkt $D$, an dem ein rechter Winkel liegt.

3. Höhen- und Längenunterschied bestimmen:

$\textcolor{orange}{Höhenunterschied = y_A - y_B = 6 - 2 = 4}$
$\textcolor{blue}{Längenunterschied = x_A -x_B = (-4) - 4 = -8} $

4. Steigung berechnen:

$Steigung = \frac{\textcolor{orange}{Höhenunterschied}}{\textcolor{blue}{Längenunterschied}} =  \frac{\textcolor{orange}{y_A - y_B}}{\textcolor{blue}{x_A - x_B}} = \frac{4}{-8} = -0,5$

Steigung mit zwei Punkten berechnen

Mit zwei Punkten können wir die Steigung direkt berechnen, indem wir die x-Werte und y-Werte in die folgende Formel einsetzen:

Beispielaufgabe: Steigung mit zwei Punkten bestimmen

$P(3/2)$, $Q(9/4)$

1. $x_1=3, ~~~x_2=9$
    $y_1=2, ~~~~y_2=4$

Achte beim Ablesen der Werte darauf, dass du diese nicht vertauschst, damit kein Vorzeichenfehler entsteht und du die falsche Steigung bestimmst.

2. $m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$

    $m = \frac{4 - 2}{9 - 3}$
   
3. $m = \frac{2}{6}$
    $m = \frac{1}{3}$

Steigung mit Hilfe des Winkels berechnen

Hierbei müssen wir den Winkel, der zwischen der Funktion und der $x-Achse$ entsteht, in eine Formel einsetzen.

Beispielaufgabe: Steigung mit Hilfe des Winkels bestimmen

Der Winkel, in dem eine Straße ansteigt, beträgt $27 ^\circ$. Wie groß ist die Steigung der Straße?

1. Winkel : $27 ^\circ$
2. $m = tan ( \alpha) = tan(27^\circ) $
3. $m = tan (27^\circ) \approx 0,5 $

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!