Steigung einer linearen Funktion bestimmen- Steigungsdreieck

Steigung mittels Steigungsdreieck bestimmen

Wir haben das Bild eines Graphen gegeben und sollen daraus die Steigung ermitteln. Die einfachste Art die Steigung zu bestimmen, ist ein sogenanntes Steigungsdreieck einzuzeichnen.

Beispielaufgabe Steigungsdreieck

Wir bestimmen die Steigung des Graphen. Drucke dir das Bild am besten aus, und versuche zuerst allein die Punkte der Vorgehensweise abzuarbeiten.

1. Zwei Punkte einzeichnen:

Abbildung Punkte einzeichnen

Wir können beliebige Punkte auf dem Graphen markieren. Es ist jedoch einfacher, wenn die Punkte ganze $x-$ und $y-Werte$ haben.

2. Steigungsdreieck einzeichnen:

Abbildung Steigungsdreieck einzeichnen

Wir bilden mit dem Graphen und den zwei markierten Punkten ein Dreieck. Dabei entsteht ein Hilfspunkt $D$, an dem ein rechter Winkel liegt.

3. Höhen- und Längenunterschied bestimmen:

$\textcolor{orange}{Höhenunterschied = y_A - y_B = 6 - 2 = 4}$
$\textcolor{blue}{Längenunterschied = x_A -x_B = (-4) - 4 = -8} $

4. Steigung berechnen:

$Steigung = \frac{\textcolor{orange}{Höhenunterschied}}{\textcolor{blue}{Längenunterschied}} =  \frac{\textcolor{orange}{y_A - y_B}}{\textcolor{blue}{x_A - x_B}} = \frac{4}{-8} = -0,5$

Steigung mit zwei Punkten berechnen

Mit zwei Punkten können wir die Steigung direkt berechnen, indem wir die x-Werte und y-Werte in die folgende Formel einsetzen:

Beispielaufgabe: Steigung mit zwei Punkten bestimmen

$P(3/2)$, $Q(9/4)$

1. $x_1=3, ~~~x_2=9$
    $y_1=2, ~~~~y_2=4$

Achte beim Ablesen der Werte darauf, dass du diese nicht vertauschst, damit kein Vorzeichenfehler entsteht und du die falsche Steigung bestimmst.

2. $m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$

    $m = \frac{4 - 2}{9 - 3}$
   
3. $m = \frac{2}{6}$
    $m = \frac{1}{3}$

Steigung mit Hilfe des Winkels berechnen

Hierbei müssen wir den Winkel, der zwischen der Funktion und der $x-Achse$ entsteht, in eine Formel einsetzen.

Beispielaufgabe: Steigung mit Hilfe des Winkels bestimmen

Der Winkel, in dem eine Straße ansteigt, beträgt $27 ^\circ$. Wie groß ist die Steigung der Straße?

1. Winkel : $27 ^\circ$
2. $m = tan ( \alpha) = tan(27^\circ) $
3. $m = tan (27^\circ) \approx 0,5 $

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!