Mathematik > Funktionen

Steigung einer linearen Funktion bestimmen- Steigungsdreieck

Inhaltsverzeichnis:

Die Steigung einer linearen Funktion ist an jedem Punkt gleich. In der allgemeinen Form können wir die Steigung direkt ablesen:

Gut zu wissen

Hinweis

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$f(x) = y = \textcolor{BrickRed}{m} \cdot x +n$

$\textcolor{BrickRed}{Steigung = m}$

Positive und negative Steigung

Die Steigung kann sowohl positiv als auch negativ sein. Dies kann man bei einer gegebenen Funktionsgleichung, anhand des Vorzeichens vor der Steigung, ablesen. Bei einem gegebenen Funktionsgraphen verläuft die Gerade steil nach oben bei positiver Steigung und steil nach unten bei negativer Steigung.

Positive Steigung

Bei positiver Steigung wird der y-Wert größer, wenn der x-Wert größer wird. Damit sieht der Graph so aus:

positive-steigung
Graph einer linearen Funktion mit positiver Steigung

Lineare Funktionen mit positiver Steigung verlaufen von unten links nach oben rechts.

Negative Steigung

Bei einer negativen Steigung ist das anders herum. Je größer die x-Werte werden, desto kleiner werden die y-Werte. Der Graph verläuft dann von oben links nach unten rechts:

negative-steigung
Graph mit negativer Steigung

Lineare Funktionen mit negativer Steigung verlaufen von oben links nach unten rechts.

Es gibt verschiedene Arten von Aufgabentypen, in denen die Steigung ermittelt werden soll. So kann zum Beispiel das Bild eines Graphen, zwei Punkte oder ein Winkel gegeben sein. Bei allen drei Arten müssen wir andere Methoden zum Errechnen der Steigung anwenden.

Steigung mittels Steigungsdreieck bestimmen

Wir haben das Bild eines Graphen gegeben und sollen daraus die Steigung ermitteln. Die einfachste Art die Steigung zu bestimmen, ist ein sogenanntes Steigungsdreieck einzuzeichnen.

Methode

Methode

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Vorgehensweise:
1. Zwei Punkte auf der Funktionsgeraden einzeichnen
2. Steigungsdreieck einzeichnen
3. Höhen- und Längenunterschied ermitteln
4. Steigung berechnen, indem der Höhenunterschied durch den Längenunterschied geteilt wird

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Beispielaufgabe Steigungsdreieck

Wir bestimmen die Steigung des Graphen. Drucke dir das Bild am besten aus, und versuche zuerst allein die Punkte der Vorgehensweise abzuarbeiten.

1. Zwei Punkte einzeichnen:

steigungsdreick-1a
Abbildung Punkte einzeichnen

Wir können beliebige Punkte auf dem Graphen markieren. Es ist jedoch einfacher, wenn die Punkte ganze $x-$ und $y-Werte$ haben.

2. Steigungsdreieck einzeichnen:

steigungsdreick-2
Abbildung Steigungsdreieck einzeichnen

Wir bilden mit dem Graphen und den zwei markierten Punkten ein Dreieck. Dabei entsteht ein Hilfspunkt $D$, an dem ein rechter Winkel liegt.

3. Höhen- und Längenunterschied bestimmen:

$\textcolor{orange}{Höhenunterschied = y_A - y_B = 6 - 2 = 4}$
$\textcolor{blue}{Längenunterschied = x_A -x_B = (-4) - 4 = -8} $

4. Steigung berechnen:

$Steigung = \frac{\textcolor{orange}{Höhenunterschied}}{\textcolor{blue}{Längenunterschied}} =  \frac{\textcolor{orange}{y_A - y_B}}{\textcolor{blue}{x_A - x_B}} = \frac{4}{-8} = -0,5$

Steigung mit zwei Punkten berechnen

Mit zwei Punkten können wir die Steigung direkt berechnen, indem wir die x-Werte und y-Werte in die folgende Formel einsetzen:

Merke

Merke

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$m = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B}$, wobei wir den größeren bzw. höher liegenden Punkt als $P ({X_A / Y_A})$ wählen.

Methode

Methode

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Vorgehensweise
1. Die beiden x und y-Werte ablesen
2. x und y-Werte in die Formel einsetzen
3. Steigung mit Hilfe der Formel berechnen

Beispielaufgabe: Steigung mit zwei Punkten bestimmen

$P(3/2)$, $Q(9/4)$

1. $x_1=3, ~~~x_2=9$
    $y_1=2, ~~~~y_2=4$

Achte beim Ablesen der Werte darauf, dass du diese nicht vertauschst, damit kein Vorzeichenfehler entsteht und du die falsche Steigung bestimmst.

2. $m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$

    $m = \frac{4 - 2}{9 - 3}$
   
3. $m = \frac{2}{6}$
    $m = \frac{1}{3}$

Steigung mit Hilfe des Winkels berechnen

Hierbei müssen wir den Winkel, der zwischen der Funktion und der $x-Achse$ entsteht, in eine Formel einsetzen.

Merke

Merke

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$m = tan ( \alpha)$

Methode

Methode

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Vorgehensweise:
1. Den Winkel ablesen
2. Winkel in die Formel einsetzen
3. Steigung ausrechnen

Beispielaufgabe: Steigung mit Hilfe des Winkels bestimmen

Der Winkel, in dem eine Straße ansteigt, beträgt $27 ^\circ$. Wie groß ist die Steigung der Straße?

1. Winkel : $27 ^\circ$
2. $m = tan ( \alpha) = tan(27^\circ) $
3. $m = tan (27^\circ) \approx 0,5 $

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!

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Übungsaufgaben

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Berechne die Steigung der linearen Funktion, die durch die Punkte
$P(3/4,5)$ und $Q(-3/3)$
verläuft!

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Berechne die Steigung der Funktion, die einen Winkel von $45^\circ$ zur x-Achse hat.

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Wie groß ist die Steigung der Funktion?

a) $f(x) = 7+x\cdot 3,5$

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Wie groß ist die Steigung, wenn der Winkel zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse $14,04^\circ$ beträgt?

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