Die Steigung einer linearen Funktion ist an jedem Punkt gleich. In der allgemeinen Form können wir die Steigung direkt ablesen:
Gut zu wissen
$f(x) = y = \textcolor{BrickRed}{m} \cdot x +n$
$\textcolor{BrickRed}{Steigung = m}$
Positive und negative Steigung
Die Steigung kann sowohl positiv als auch negativ sein. Dies kann man bei einer gegebenen Funktionsgleichung, anhand des Vorzeichens vor der Steigung, ablesen. Bei einem gegebenen Funktionsgraphen verläuft die Gerade steil nach oben bei positiver Steigung und steil nach unten bei negativer Steigung.
Positive Steigung
Bei positiver Steigung wird der y-Wert größer, wenn der x-Wert größer wird. Damit sieht der Graph so aus:

Lineare Funktionen mit positiver Steigung verlaufen von unten links nach oben rechts.
Negative Steigung
Bei einer negativen Steigung ist das anders herum. Je größer die x-Werte werden, desto kleiner werden die y-Werte. Der Graph verläuft dann von oben links nach unten rechts:

Lineare Funktionen mit negativer Steigung verlaufen von oben links nach unten rechts.
Es gibt verschiedene Arten von Aufgabentypen, in denen die Steigung ermittelt werden soll. So kann zum Beispiel das Bild eines Graphen, zwei Punkte oder ein Winkel gegeben sein. Bei allen drei Arten müssen wir andere Methoden zum Errechnen der Steigung anwenden.
Steigung mittels Steigungsdreieck bestimmen
Wir haben das Bild eines Graphen gegeben und sollen daraus die Steigung ermitteln. Die einfachste Art die Steigung zu bestimmen, ist ein sogenanntes Steigungsdreieck einzuzeichnen.
Methode
Vorgehensweise:
1. Zwei Punkte auf der Funktionsgeraden einzeichnen
2. Steigungsdreieck einzeichnen
3. Höhen- und Längenunterschied ermitteln
4. Steigung berechnen, indem der Höhenunterschied durch den Längenunterschied geteilt wird
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Beispielaufgabe Steigungsdreieck
Wir bestimmen die Steigung des Graphen. Drucke dir das Bild am besten aus, und versuche zuerst allein die Punkte der Vorgehensweise abzuarbeiten.
1. Zwei Punkte einzeichnen:

Wir können beliebige Punkte auf dem Graphen markieren. Es ist jedoch einfacher, wenn die Punkte ganze $x-$ und $y-Werte$ haben.
2. Steigungsdreieck einzeichnen:

Wir bilden mit dem Graphen und den zwei markierten Punkten ein Dreieck. Dabei entsteht ein Hilfspunkt $D$, an dem ein rechter Winkel liegt.
3. Höhen- und Längenunterschied bestimmen:
$\textcolor{orange}{Höhenunterschied = y_A - y_B = 6 - 2 = 4}$
$\textcolor{blue}{Längenunterschied = x_A -x_B = (-4) - 4 = -8} $
4. Steigung berechnen:
$Steigung = \frac{\textcolor{orange}{Höhenunterschied}}{\textcolor{blue}{Längenunterschied}} = \frac{\textcolor{orange}{y_A - y_B}}{\textcolor{blue}{x_A - x_B}} = \frac{4}{-8} = -0,5$
Steigung mit zwei Punkten berechnen
Mit zwei Punkten können wir die Steigung direkt berechnen, indem wir die x-Werte und y-Werte in die folgende Formel einsetzen:
Merke
$m = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B}$, wobei wir den größeren bzw. höher liegenden Punkt als $P ({X_A / Y_A})$ wählen.
Methode
Vorgehensweise
1. Die beiden x und y-Werte ablesen
2. x und y-Werte in die Formel einsetzen
3. Steigung mit Hilfe der Formel berechnen
Beispielaufgabe: Steigung mit zwei Punkten bestimmen
$P(3/2)$, $Q(9/4)$
1. $x_1=3, ~~~x_2=9$
$y_1=2, ~~~~y_2=4$
Achte beim Ablesen der Werte darauf, dass du diese nicht vertauschst, damit kein Vorzeichenfehler entsteht und du die falsche Steigung bestimmst.
2. $m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$
$m = \frac{4 - 2}{9 - 3}$
3. $m = \frac{2}{6}$
$m = \frac{1}{3}$
Steigung mit Hilfe des Winkels berechnen
Hierbei müssen wir den Winkel, der zwischen der Funktion und der $x-Achse$ entsteht, in eine Formel einsetzen.
Merke
$m = tan ( \alpha)$
Methode
Vorgehensweise:
1. Den Winkel ablesen
2. Winkel in die Formel einsetzen
3. Steigung ausrechnen
Beispielaufgabe: Steigung mit Hilfe des Winkels bestimmen
Der Winkel, in dem eine Straße ansteigt, beträgt $27 ^\circ$. Wie groß ist die Steigung der Straße?
1. Winkel : $27 ^\circ$
2. $m = tan ( \alpha) = tan(27^\circ) $
3. $m = tan (27^\circ) \approx 0,5 $
Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!
Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben
Berechne die Steigung der linearen Funktion, die durch die Punkte
$P(3/4,5)$ und $Q(-3/3)$
verläuft!
Berechne die Steigung der Funktion, die einen Winkel von $45^\circ$ zur x-Achse hat.
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