Wie kann man aus einem abgebildeten Graphen einer linearen Funktion die dazugehörige Gleichung bestimmen? Die einfachste Möglichkeit ist, sich den Graphen genau anzuschauen, den y-Achsenabschnitt abzulesen und mit einem Steigungsdreieck die Steigung zu bestimmen. In diesem Text schauen wir uns an, wie der y-Achsenabschnitt/Ordinatenabschnitt bestimmt werden kann.
Geradengleichung berechnen
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Daher ist die Steigung in jedem Punkt des Graphen gleich.
Die Funktion eines Graphen soll nun mit Hilfe der Abbildung des Graphen bestimmt werden.
Um die Geradengleichung berechnen zu können, liest man den y-Achsenabschnitt ($n$) ab und macht ein Steigungsdreieck, um die Steigung ($m$) zu bestimmen. Wenn man die beiden Variablen, also $n$ und $m$, ermittelt hat, muss man sie in die allgemeine Form einsetzen und erhält die Funktionsgleichung.
Merke
allgemeine Form
$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$
$\textcolor{red}{m : Steigung}$
$\textcolor{blue}{n : y-Achsenabschnitt}$
Wie die Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmt wird, kannst du dir im Kapitel Steigung einer linearen Funktion noch einmal anschauen.
y-Achsenabschnitt ablesen
Um den y-Achsenabschnitt, also den Ordinatenabschnitt, berechnen zu können, müssen wir den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse herausfinden.
Welchen Wert hat $x$, wenn der Graph die y-Achse schneidet? Versuche es bei dieser Abbildung herauszufinden:
Der y-Achsenabschnitt beträgt $1,5$. Der dazugehörige x-Wert ist $0$.
Die Funktion schneidet die y-Achse an dem Punkt, wo der x-Wert null ist. Vorsicht! Die beiden Achsen dürfen nicht verwechselt werden: Die x-Achse verläuft von links nach rechts und die y-Achse von unten nach oben.
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Beispielaufgabe: Bestimmen der Funktionsgleichung mit dem y-Achsenabschnitt
Beispiel
Dieser Funktion können wir sofort ansehen, dass der y-Achsenabschnitt $4$ beträgt, da die Funktion die y-Achse an dieser Stelle schneidet.
Auch die Steigung können wir durch bloßes Hinschauen herausfinden. Wenn wir eine Einheit $x$ nach rechts gehen, müssen wir eine Einheit in y-Richtung nach oben gehen.
$m= \frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied} = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{1}{1} = 1 $.
Damit beträgt die Steigung $1$.
Wir müssen die vollständige Funktionsgleichung bestimmen. Dafür setzen wir die beiden ermittelten Werte in die Gleichung ein.
$m=1$
$n=4$
$f(x) = m\cdot x+n$
$f(x) = 1\cdot x+4$
y-Achsenabschnitt mit der Steigung bestimmen
Es kann sein, dass eine Abbildung eines Graphen gegeben ist, bei dem der Schnittpunkt mit der y-Achse nicht sichtbar ist. Wie beispielsweise bei dieser Abbildung:
Dieser Graph ist gegeben und der y-Achsenabschnitt soll ermittelt werden. Um die komplette Gleichung bestimmen zu können, fehlt der y-Achsenabschnitt. Dieser ist in unserem Graph nicht eingezeichnet, kann also nicht einfach abgelesen werden.
Um den Ordinatenabschnitt berechnen zu können, nutzen wir die Formel zur Berechnung der Steigung. Die Steigung errechnen wir als erstes. Sie beträgt $m=1,5$. Doch mit dieser Formel können wir jetzt auch den y-Achsenabschnitt ermitteln. Hierfür setzen wir die Koordinaten eines uns bekannten Punktes und die Steigung der Funktion in die folgende Formel ein:
$m = \frac{y2-y1}{x2-x1}$
Wir setzen die Steigung $m=1,5$ und die Koordinaten des Punktes $A\; (2|1)$ ein. Die rote $\textcolor{BrickRed}{0}$ ist die x-Koordinate des y-Achsenabschnittes. Alles in die Formel eingesetzt ergibt sich:
$1,5 = \frac{y2-1}{\textcolor{BrickRed}{0}-2}$
Jetzt müssen wir die Formel nur noch nach $y2$ umstellen und wir haben den y-Achsenabschnitt. Der erste Schritt ist also die Multiplikation mit $-2$. Es folgt:
$1,5 \cdot (-2)= y2-1$
Im nächsten Schritt addieren wir $1$, um den Wert $y2$ allein auf einer Seite zu haben. Es ergibt sich:
$-3+1=y2 \rightarrow y2=-2$
Der y-Achsenabschnitt der Funktion beträgt also $-2$.
Nun hast du erfahren, wie du den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmst. Teste dein neues Wissen anhand der Übungsaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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