In der Analysis ist das Bestimmen der Nullstellen von elementarer Bedeutung. Eine lineare Funktion kann nur eine oder keine Nullstelle haben. Wie man die Nullstelle einer Funktion ablesen bzw. berechnen kann, klären wir in diesem Kapitel.
Nullstelle einer linearen Funktion graphisch bestimmen
Eine Nullstelle ist ein Schnittpunkt mit der $x-Achse$. Also gehen wir ähnlich vor, wie beim Bestimmen des y-Achsenabschnitts.
Wenn die Abbildung eines Graphen gegeben ist, können wir die Nullstelle einfach bei der Funktion ablesen, solange der Punkt genau erkennbar ist:
Die Nullstelle liegt am Punkt $N(1/0)$. Bei einer Nullstelle ist der $y-Wert$ immer null. $\rightarrow N(x/\textcolor{BrickRed}{0})$. Du hast also gerade gelernt, wie du bei der Funktion die Nullstelle ablesen, also graphisch bestimmen kannst. Natürlich ist dies nicht immer möglich, weswegen es noch ein anderes Verfahren gibt: Du kannst rechnerisch Nullstellen bestimmen.
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Nullstelle rechnerisch bestimmen
Die Nullstelle befindet sich dort, wo der $y-Wert$ null ist. Also muss, um den Nullpunkt zu berechnen, die lineare Funktion gleich null gesetzt werden. Schauen wir uns dies rechnerisch an einem Beispiel an:
Beispiel
Bestimme die Nullstelle der Funktion $f(x) = y = 3\cdot x +6$
1. Die Funktion gleich null setzen
$f(x) = 3\cdot x +6 \textcolor {BrickRed}{= 0}$
2. nach x auflösen
$0 = 3\cdot x +6$ $|-6$
$-6 = 3\cdot x$ $|:3$
$\frac{-6}{3} = -2 = x$
3. Nullstelle aufschreiben
Die Nullstelle hat den $x-Wert: - 2$.
$N(-2/0)$
Vorgehensweise: Nullstelle berechnen
Methode
- Die Funktion gleich null setzen.
- Nach $x$ auflösen.
- Nullstelle aufschreiben.
Beispielaufgaben: Nullstelle von linearen Funktionen bestimmen
Bestimme je die Nullstelle der Funktionen!
a) $f(x) = -0,5 \cdot x + 2 $
b) $g(x) = 50 \cdot x +25$
c) $h(x) = -x-1,75$
a) $f(x) = -0,5 \cdot x + 2 $
1. Die Funktion gleich null setzen
$f(x) = -0,5 \cdot x +2 = 0$
2. nach $x$ auflösen
$0 = -0,5 \cdot x + 2$ $|-2$
$-2 = -0,5 \cdot x$ $|:(-0,5)$
$\frac{-2}{-0,5} = 4 = x$
3. Nullstelle aufschreiben
$N_f(4/0)$
b) $g(x) = 50 \cdot x +25$
$g(x) = 50 \cdot x +25 = 0$ $|-25$
$-25 = 50 \cdot x$ $|:50$
$\frac{-25}{50} = -0,5 = x$
$N_g(-0,5/0)$
c) $h(x) = -x-1,75$
$h(x) = - x - 1,75 = 0$ $|+1,75$
$1,75 = -x$ $|:(-1)$
$-1,75 = x$
$N_h(-1,75/0)$
Lineare Funktionen ohne Nullstelle
Jede lineare Funktion hat entweder eine Nullstelle oder keine Nullstelle. Funktionen, die keine Nullstelle besitzen, verlaufen parallel zur $x-Achse$.
Diese Gerade wird die $x-Achse$ nie schneiden.
$f(x) = y= m\cdot x +n \rightarrow$ Die Steigung einer Funktion, die keine Nullstelle besitzt, ist null. $m = 0$
$f(x) = y = 0 \cdot x +3 = 3$
$f(x) = y = 3$
Eine lineare Funktion, die eine Parallele zur $x-Achse$ ist, hat keinen Wert für $x$ bzw. er ist null. Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Gut zu wissen
An einer linearen Funktion kannst du ebenso die Steigung bestimmen, oder auch den y-Achsenabschnitt. In den Lerntexten Steigung einer linearen Funktion bestimmen - Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen und berechnen kannst du jetzt mehr dazu erfahren.
Jetzt weißt du alles Wichtige über das Bestimmen der Nullstelle einer linearen Funktion. Du kannst dich noch weiter mit Hilfe der Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
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