Mathematik > Funktionen

Lineare Funktionen - So löst du eine Textaufgabe!

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext schauen wir uns Beispielaufgaben zu linearen Funktionen an und wie du anhand von Textaufgaben eine Funktionsgleichung erstellst. Selbstverständlich geben wir zu jeder Aufgabe eine Lösung mit an.

Definition einer linearen Funktion

Eine Funktion stellt immer das Verhältnis zweier Variablen dar. Meist werden die zwei Variablen $x$ und $y$ genannt. Dieses Verhältnis kann dann durch eine Gleichung ausgedrückt und in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Lineare Funktionen beschreiben immer ein lineares Verhältnis zwischen zwei Variablen. 

Gut zu wissen

Hinweis

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$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$

$\textcolor{red}{m : Steigung}$

$\textcolor{blue}{n : y-Achsenabschnitt}$

$x:$ unabhängige Variable
$f(x) = y:$ abhängige Variable

beispiel-lineare-funnktion1
Abbildung einer linearen Funktion mit y-Achsenabschnitt, Nullstelle und Steigungsdreieck

Beispielaufgabe: Taschengeld sparen

Beispiel

Beispiel

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Aufgabe:
Sarah hat $100$€ zur Kommunion geschenkt bekommen und möchte das Geld sparen. Jeden Monat spart sie die Hälfte ihres Taschengeldes in einer Spardose. Sie bekommt im Monat $10$€ Taschengeld.

Stelle eine passende Funktion zu dem Sachverhalt auf, wobei die Variable die Zeit in Monaten sein soll.

Lösung:
Der Anfangswert beträgt $100€ \rightarrow A_0 = 100 $
Jeden Monat kommt die Hälfte von $10$€ dazu. Damit ist die Steigung $\rightarrow m=5$

Es ergibt sich folgende Gleichung:
$f(x) = 100 + 5 \cdot x$

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Beispielaufgabe: Tropfender Wasserhahn

Aufgabe:

Familie Mayer ist für drei Wochen in den Urlaub gefahren. Dabei haben sie nicht gemerkt, dass der Wasserhahn in der Küche nicht ganz zugedreht war. Aus ihm tropfen gleichmäßig fünf Tropfen in der Minute. $100$ Tropfen ergeben ca. ein Wasserglas, also $0,2l$.

Erstelle eine Funktionsgleichung zu dem Sachverhalt, wobei die Variabel ($x$) die Zeit in Tagen sein soll. Rechne damit die Wassermenge in $l$ aus, die nach der dritten Woche aus dem Hahn getropft ist.

Lösung:

Vertiefung

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Klicke hier, um die Lösungen zu öffnen.

Zunächst müssen wir berechnen, wie viele Tropfen an einem Tag aus dem Hahn laufen:

Pro Minute $5$ Tropfen $\rightarrow$ pro Stunde $5 \cdot 60 = 300$ Tropfen $\rightarrow$ pro Tag $300 \cdot 24= 7.200$ Tropfen

Die Anzahl der Tropfen muss nun mit dem Dreisatz noch in $ml$ umgeformt werden:
$100 \rightarrow 0,2l$
$1 \rightarrow 0,002l$
$7200 \rightarrow 14,4l$

Daraus kann jetzt die Funktion erstellt werden:

$f(x) = 14,4 \cdot x$ Dabei sind $x$ die Tage und $f(x)$ die Wassermenge.

Drei Wochen haben 21 Tage, also setzten wir für $x$ den Wert 21 ein:

$f(21) = 14,4l \cdot 21 = 302,4l$

Damit sind in drei Wochen ca. $300l$ aus dem Hahn getropft.

Beispielaufgabe: Kosten pro gekaufter Kugel Eis

Aufgabe:

Frau Schuhmann hat ihre Schulklasse zum Eis essen eingeladen. Eine Kugel Eis kostet $0,90$ € und die Klasse besteht aus $25$ Kindern. Nun überlegt Frau Schuhmann, wie viele Kugeln Eis jedes Kind essen darf, wenn sie höchstens $40$€ ausgeben möchte.
Erstelle die lineare Funktion zu dem Sachverhalt und berechne mit der Funktion, wie viele Kugeln Eis jeder Schüler essen darf.

Lösung:

Vertiefung

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Funktion: $f(x) = 0,9\cdot x$
$0,9$ ist die Änderungsrate, $x$ ist die Variable, die die Anzahl der Kugeln widerspiegelt und der $y$-Wert sind die Gesamtkosten.

Setzen wir $40$€ als Gesamtkosten in die Funktion ein und lösen nach $x$ auf:
$f(x) = 40 = 0,9 \cdot x$                 $|:0,9$
$\frac{40}{0,9}= 44,44= x$
Von $40$€ kann Frau Schuhmann maximal $44$ Kugeln kaufen. Da die Klasse aus $25$ Schülern besteht, teilen wir durch $25$.
$\frac{44}{25}= 1,76$
Wenn jeder Schüler gleich viele Kugeln bekommen soll, darf jeder Schüler nur eine Kugel essen.

Nun haben wir uns drei Textaufgaben angeschaut. Mit den Übungsaufgaben kannst du dich weiter mit dem Thema vertraut machen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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Übungsaufgaben

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Welche Funktionen sind lineare Funktionen?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
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Bestimme die Funktionsgleichung der abgebildeten Funktion!

y-achsenabschnitt-aufgabe-2

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Marla hat $20$€ von ihrer Oma geschenkt bekommen. Nun hat sie vor, sich jeden Schultag einen Apfel zu kaufen. Ein Apfel kostet $60$ Cent und Marla geht fünf Tage in der Woche zur Schule.
Wie sieht die passende Funktion zu diesem Sachverhalt aus, wenn $f(x)$ der Restbetrag des Geldes ist und $x$ die Anzahl der Wochen ($7$ Tage)?

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Welche Anwendungsaufgabe trifft auf die Funktion $f(x) = 3+ 1\cdot x$ zu?

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