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Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen

Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext erklären wir dir die Vorgehensweise zur Berechnung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion. Diese Vorgehensweise zeigen wir dir anhand mehrerer Beispiele.

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Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen

Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion lässt sich mithilfe weniger Schritte aufstellen. Nachfolgend siehst du die Vorgehensweise beim Berechnen der Umkehrfunktion einer linearen Funktion:

Methode

1. Funktion nach $x$ auflösen.

2. $x$ und $f(x)$ vertauschen.

Wenden wir diese beiden Schritte einmal auf ein Beispiel an:

1. Funktion nach $x$ auflösen

$f(x) = 2 \cdot x +1~~~~~~|-1$

$f(x) - 1 = 2 \cdot x~~~~~| :2$

$\frac{f(x)}{2} - 0,5 = x$

2. $x$ und $f(x)$ vertauschen

$0,5  \cdot f(x) - 0,5 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$

$f(x) = 0,5 \cdot x - 0,5$

Gut zu wissen

Um deutlich zu machen, dass es sich um eine Umkehrfunktion handelt, schreibt man anstatt $f(x)$ auch $f^{-1}(x)$.

$\rightarrow f^{-1}(x) = 0,5 \cdot x - 0,5$

Schauen wir uns einige weitere Beispiele an, um das Vorgehen besser zu verstehen.

Beispiel

$f(x) = 5 \cdot x +10$

$f(x) = 5\cdot x + 10~~~~~|-10$

$f(x) - 10 = 5 \cdot x~~~~~|:5$

$\frac{f(x)}{5} - 2 = x$

$\frac{1}{5} \cdot f(x) - 2 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$

$\frac{1}{5} \cdot x - 2 = f(x)$

$\rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{5} \cdot x - 2$

Beispiel

$f(x) = 12 \cdot x +30$

$f(x) = 12 \cdot x + 30~~~~~|-30$

$f(x) - 30 = 12 \cdot x~~~~~|:12$

$\frac{f(x)}{12} - 2,5 = x$

$\frac{1}{12} \cdot f(x) - 2,5 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$

$\frac{1}{12} \cdot x - 2,5 = f(x)$

$\rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{12} \cdot x - 2,5$

Beispiel

$f(x) =  x - 15$

$f(x) =  x - 15~~~~~|+15$

$f(x) + 15 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$

$x +15 = f(x)$

$\rightarrow f^{-1}(x) = x + 15$

Grafische Bedeutung der Umkehrfunktion

Das grafische Eintragen der Umkehrfunktion funktioniert genauso, wie bei der normalen Funktion. In der Abbildung siehst du die Ausgangsfunktion $\textcolor{green}{f(x) = 2 \cdot x +1}$ in Grün und ihre entsprechende Umkehrfunktion $\textcolor{red}{f^{-1}(x) = 0,5 \cdot x - 0,5}$ in Rot. Zusätzlich zu diesen beiden Funktionen ist auch noch die Winkelhalbierende ($f(x) = x$) eingezeichnet.

Eine lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion.
Eine lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion.

Zwischen der Funktion und der Umkehrfunktion besteht ein grafischer Zusammenhang: Spiegelt man alle Punkte der Ausgangsfunktion $f(x)$ an der Winkelhalbierenden, erhält man die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$.

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Wie kennzeichnet man die Umkehrfunktion?

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Wie lautet die Umkehrfunktion?

$f(x)=7 \cdot x + 4$

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Wie lautet die Umkehrfunktion?

$f(x)=10 \cdot x - 100$

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Wie lautet die Umkehrfunktion?

$f(x) = x - 1$

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