Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen

Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen

Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion lässt sich mithilfe weniger Schritte aufstellen. Nachfolgend siehst du die Vorgehensweise beim Berechnen der Umkehrfunktion einer linearen Funktion:

Wenden wir diese beiden Schritte einmal auf ein Beispiel an:

1. Funktion nach $x$ auflösen

$f(x) = 2 \cdot x +1~~~~~~|-1$

$f(x) - 1 = 2 \cdot x~~~~~| :2$

$\frac{f(x)}{2} - 0,5 = x$

2. $x$ und $f(x)$ vertauschen

$0,5  \cdot f(x) - 0,5 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$

$f(x) = 0,5 \cdot x - 0,5$

$\rightarrow f^{-1}(x) = 0,5 \cdot x - 0,5$

Schauen wir uns einige weitere Beispiele an, um das Vorgehen besser zu verstehen.

Grafische Bedeutung der Umkehrfunktion

Das grafische Eintragen der Umkehrfunktion funktioniert genauso, wie bei der normalen Funktion. In der Abbildung siehst du die Ausgangsfunktion $\textcolor{green}{f(x) = 2 \cdot x +1}$ in Grün und ihre entsprechende Umkehrfunktion $\textcolor{red}{f^{-1}(x) = 0,5 \cdot x - 0,5}$ in Rot. Zusätzlich zu diesen beiden Funktionen ist auch noch die Winkelhalbierende ($f(x) = x$) eingezeichnet.

Eine lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion.

Zwischen der Funktion und der Umkehrfunktion besteht ein grafischer Zusammenhang: Spiegelt man alle Punkte der Ausgangsfunktion $f(x)$ an der Winkelhalbierenden, erhält man die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$.

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