In diesem Kapitel behandeln wir den einfachen Dreisatz. Wir erklären dir, was der Dreisatz ist und wann und wie du mit dem Dreisatz rechnen kannst. Hierfür gehen wir zwei Beispielaufgaben durch.
Was ist der Dreisatz?
Der Dreisatz ist ein mathematisches Lösungsverfahren. Mit Hilfe des Dreisatzes können wir Verhältnisaufgaben lösen. Zwei Werte werden zueinander in ein Verhältnis gesetzt, um darauf basierend ein neues Verhältnis aufzustellen. Die Lösung einer solchen Aufgabe erfolgt in drei Schritten, daher auch der Name Dreisatz.
Dreisatzaufgaben: proportionaler Zusammenhang
Um den Dreisatz zu erklären, schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
Aufgabe: Ein PKW verbraucht auf 100 km genau 8,2 Liter Benzin. Mit einer Tankfüllung kommt er 620 km weit. Wie viel Liter fasst der Tank des PKWs? Runde dein Ergebnis auf volle Liter.
Für diese Aufgabe benötigen wir den Dreisatz. Wir schreiben die bekannten Verhältnisse untereinander und erhalten:
$100 \;km\;\;\widehat{=}\;\;8,2\;Liter$
$620\;km\;\;\widehat{=}\;\;x\;\;\;Liter$
Das Symbol ($\widehat{=}$) zwischen den Werten ist das Verhältnissymbol und beschreibt, dass diese beiden Werte in einem Verhältnis zueinander stehen. $\widehat{=}$ bedeutet also "entspricht".
Um auf die Lösung zu kommen, müssen wir zunächst ermitteln, wie viel Benzin das Auto pro Kilometer verbraucht. Hierfür rechnen wir auf beiden Seiten durch $100$. Es folgt:
$100\;km\;\;\widehat{=}\;8,2\;Liter$
$1\;\;\;\;km\;\;\widehat{=}\;\frac{8,2}{100}\;Liter$
Im letzten Schritt multiplizieren wir beide Seiten mit dem Wert, der in der Lösung vorkommt. Hier ist dies der Wert $620$. Es entsteht:
$620 \;km\;\;\widehat{=}\;\;\frac{8,2}{100}~Liter~\cdot 620$
Ausgerechnet ergibt das:
$620\;km\;\;\widehat{=}\;\;50,84\;Liter$
Da wir das Ergebnis auf volle Liter runden sollen, ist die Lösung $51$ Liter.
Es handelt sich um einen proportionalen Zusammenhang, da jeder gefahrene Kilometer auch die verbrauchten Liter erhöht. (Je mehr km gefahren werden, desto mehr Benzin wird verbraucht.)
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Dreisatzaufgaben: antiproportionaler Zusammenhang
Beispiel
Aufgabe: Frau Müller möchte ihr Haus streichen lassen. Sie bestellt dafür drei Maler. Diese sagen ihr, dass sie genau 19 Stunden zum Streichen des gesamten Hauses benötigen. Frau Müller möchte jedoch, dass die Arbeit nach maximal acht Stunden erledigt ist. Wie viele Maler müsste sie dann insgesamt bestellen?
Für diese Aufgabe verwenden wir den Dreisatz. Das erste Verhältnis bilden die drei Maler und die 19 Stunden. Das zweite Verhältnis bilden die unbekannte Anzahl an Malern und die 8 Stunden Arbeitszeit.
$3\; Maler\; \widehat{=}\; 19\; Stunden$
$??\;Maler\;\widehat{=}\;8\;Stunden$
Da wir wissen wollen, wie viele Maler notwendig sind, um das Haus in acht Stunden zu streichen, müssen wir die Verhältnisgleichung nach der Zeit auflösen. Wir fügen als zweite Zeile also folgende Zeile ein:
$19 \cdot 3\;Maler\;\widehat{=}\;1\;Stunde$
Wir haben das Verhältnis nach Stunden aufgelöst, indem wir die rechte Seite der Verhältnisgleichung durch $19$ dividiert haben. Da es sich um einen antiproportionalen Dreisatz handelt, müssen wir die linke Seite dann mit $19$ multiplizieren. Es handelt sich um einen antiproportionalen Dreisatz, da eine größere Anzahl an Malern dazu führt, dass das Haus in weniger Stunden gestrichen wird. (Also: Je mehr Maler, desto weniger Stunden werden für das Streichen des Hauses benötigt.)
Im nächsten Schritt müssen wir nun die rechte Seite der Verhältnisgleichung mit $8$ multiplizieren und die linke Seite entsprechend durch $8$ dividieren. Wir erhalten:
$\frac{19\cdot3}{8}\;Maler\;\widehat{=}\;8\;Stunden$
Ausgerechnet ergibt dies:
$7,125\;Maler\;\widehat{=}\;8\;Stunden$
Da es sich um Menschen handelt, können wir das Ergebnis nicht als Bruch oder Dezimalzahl stehen lassen. Wir müssen das Ergebnis auf eine ganze Zahl runden. Da Frau Müller möchte, dass die Malerarbeiten maximal $8$ Stunden dauern, müssen wir das Ergebnis aufrunden. Das Ergebnis ist also $8$ Maler.
Abschließend nun noch einmal die ganze Rechnung auf einen Blick:
$3\; Maler\; \widehat{=}\; 19\; Stunden$
$19 \cdot 3\;Maler\;\widehat{=}\;1\;Stunde$
$7.125\;Maler\;\widehat{=}\;8\;Stunden$
Antwortsatz: Frau Müller muss $8$ Maler bestellen, damit das Haus nach $8$ Stunden vollständig gestrichen ist.
Mit diesen beiden Aufgaben zum Thema Dreisatz können wir nun eine Formel bzw. ein Rezept zum Rechnen mit dem Dreisatz aufstellen. Folgendes Schema hilft dir, jede Dreisatzaufgabe zu lösen:
Merke
Formel zum Dreisatz aufstellen und berechnen:
1. Zusammenhang ermitteln
2. Verhältnisse aufschreiben
3. Verhältnisse mathematisch lösen, um auf das Ergebnis zu kommen
Hier kannst du dir eine Dreisatz Erklärung herunterladen, um einfacher zu lernen.
Nun haben wir dir den Dreisatz erklärt und an verschiedenen Aufgaben gezeigt, wie du mit dem Dreisatz rechnen kannst. Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Dreisatzrechnung online mit unseren Dreisatz-Übungen und -Aufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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Übungsaufgaben
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