Bruchgleichungen unterschieden sich von normalen linearen Gleichungen dadurch, dass die unbekannte Variable $x$ im Nenner eines Bruchs steht. Dein wichtigstes Werkzeug zum Lösen einer Bruchgleichung ist jedoch immer noch die Äquivalenzumformung.
Beispiel
$\frac{1}{2\cdot x} = 0,5$
$2 + \frac{3}{x} = 6$
$\frac{1}{2\cdot(4\cdot x)} = 24$
Definitionsmenge einer Bruchgleichung
Im Gegensatz zur normalen Gleichung, bei der $x$ theoretisch alle möglichen Werte haben kann, müssen wir bei der Bruchgleichung zunächst die Definitionsmenge bestimmen. Die Definitionsmenge sagt uns, welche Werte $x$ überhaupt annehmen kann. Warum kann $x$ in einer Bruchgleichung nicht alle Werte annehmen?
Der Nenner eines Bruchs darf insgesamt niemals null ergeben, da eine Division durch null mathematisch nicht erlaubt ist. Unsere unbekannte Zahl darf also nicht einen solchen Wert haben, durch den der Nenner des Bruchs null würde. Schauen wir uns nochmal das Beispiel an:
$\frac{1}{2\cdot x} = 0,5$
Welchen Wert müsste $x$ haben damit der Nenner insgesamt null ergibt? Das Ergebnis lässt sich sehr einfach errechnen.
$2\cdot x = 0~~~~| :2$
$x = 0$
Die Unbekannte $x$ darf also nicht den Wert $0$ haben, da sonst der gesamte Nenner null sein würde.
Gut zu wissen
Der Nenner darf niemals null ergeben. Eine Division durch null ist nicht erlaubt.
Man schreibt die Definitionsmenge folgendermaßen auf:
$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} $
Gesprochen wird das so: Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen außer null.
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Bruchgleichungen lösen
Zum Lösen einer Bruchgleichung benutzt du, wie schon bei den linearen Gleichungen, die Äquivalenzumformung.
1. Schritt: Bruch eliminieren
Zunächst eliminierst du den Bruch. Das bedeutet, dass du die Gleichung mit dem Nenner des Bruchs multiplizierst, um anschließend durch Kürzen eine Gleichung ohne Brüche zu erhalten.
$\frac{1}{2\cdot x} = 0,5~~~~|\cdot 2\cdot x$
$\frac{1}{2\cdot x} \cdot 2\cdot x = 0,5 \cdot 2\cdot x$
$\frac{1 \cdot \textcolor{blue}{2\cdot x}}{\textcolor{blue}{2\cdot x}} = 0,5 \cdot 2\cdot x$
$1 = 0,5 \cdot 2 \cdot x$
Merke
Brüche können eliminiert werden, indem man die Gleichung mit dem Nenner multipliziert.
2. Schritt: Lineare Gleichung lösen
Wir haben die Bruchgleichung zu einer linearen Gleichung umgeformt, die wir nun ganz einfach durch die Äquivalenzumformung lösen können.
$1 = 0,5 \cdot 2 \cdot x~~~~~|:0,5$
$2=2\cdot x~~~~~|:2$
$x=1$
3. Schritt: Überprüfung des Ergebnisses
Im letzten Schritt müssen wir nur noch testen, ob der Wert, den wir für $x$ herausbekommen haben, auch erlaubt ist. Verboten ist für $x$ der Wert $0$. Das Ergebnis $x=1$ ist also erlaubt.
Merke
Schritte zum Lösen einer Bruchgleichung
- Definitionsmenge bestimmen
- Bruch eliminieren
- Lineare Gleichung lösen
- Überprüfung des Ergebnisses
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