In diesem Text erfährst du, wie du in der Mathematik Gleichungen aufstellen und Gleichungen lösen kannst. An Beispielaufgaben zeigen wir dir, wie du dabei am besten vorgehst.
3 Fakten über Gleichungen in der Mathematik
Wir haben dir hier bereits die wichtigsten Informationen aufgelistet, die dir beim Verstehen und Lösen von Gleichungen helfen:
Merke
1. Gleichungen bestehen aus zwei Termen.
2. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Terme und bildet eine Gleichung.
3. Durch Äquivalenzumformungen können Gleichungen gelöst werden.
Im Folgenden erklären wir dir diese Informationen nun detaillierter und schauen uns beispielhaft einige Aufgaben zu Gleichungen an.
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Was ist eine Gleichung?
Gleichungen sind euch wahrscheinlich schon oft im Unterricht begegnet, denn das mathematische Zeichen, das eine Gleichung beschreibt, kennst du seit der Grundschule: das Gleichheitszeichen $\rightarrow~~ =$. Dieses Zeichen beschreibt die Gleichheit zweier Terme. Diese Terme können aus Additionen, Divisionen, Multiplikationen und Subtraktionen oder auch nur aus Zahlen bestehen.
Beispiel
Wie wir sehen können, besteht die Gleichung aus zwei Termen:
$\textcolor{red}{4x+5} ~= \textcolor{blue}{2x-10}$
$\textcolor{red}{Term 1} =\textcolor{blue}{Term 2}$
$~~~~~~Gleichung$
Merke
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.
Deine Aufgabe ist es, die Gleichung zu lösen, d.h. für die Variable $x$ eine Zahl zu finden, mit der beide Terme denselben Wert annehmen.
Gleichungen umformen und lösen
Um eine Gleichung zu lösen, nutzen wir die Äquivalenzumformung. Um mehr über das Lösen von Gleichungen zu erfahren, schaue dir folgende Seite an: Gleichungen lösen
Beispiel
$x - 34 = 22~~~~~~~~~~|+34$
$\Leftrightarrow x = 56$
$x + 3 = 7~~~~~~~~~~~~~~|-3$
$\Leftrightarrow x = 4$
$\frac{x}{3} = 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\cdot3$
$\Leftrightarrow x = 15$
$5 \cdot x = 30~~~~~~~~~~~~~~|:5$
$\Leftrightarrow x = 6$
Natürlich sind die Gleichungen meist nicht so einfach wie in den obigen Beispielen. Die Schwierigkeit liegt in der Kombination der Methoden.
Merke
Um eine Gleichung zu lösen, wendet man die Äquivalenzumformung an. Dabei gilt:
- du musst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.
- du musst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl (außer null) multiplizieren oder dividieren.
Schauen wir uns ein etwas schwierigeres Beispiel an:
Beispiel
$-x+5= (25+2x)\cdot 3$
$\Leftrightarrow -x+5 = 75 +6 x ~~~~~~~| +x$
$\Leftrightarrow 5= 75 +7x ~~~~~~~~~~~~~~~~| -75$
$\Leftrightarrow -70 = 7x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:7$
$\Leftrightarrow -10=x$
Fassen wir die Vorgehensweise für das Lösen von Gleichungen noch einmal zusammen:
Merke
Beim Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrmals vorkommt, gelten folgende Arbeitsschritte:
- Fasse die einzelnen Terme soweit wie möglich zusammen.
- Bringe die Variable durch Äquivalenzumformung auf eine Seite.
- Löse die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen.
Gleichungen aufstellen
Du kannst einen gegebenen Text oder auch einen Sachverhalt in eine Gleichung umformen.
Schauen wir uns zunächst an, wie ein Text in eine Gleichung umgeformt wird. Dafür solltest du folgende Ausdrücke kennen:
Addition (+)
$Summand + Summand= Summe$
addieren, zusammenzählen ...
Subtraktion (-)
$Minuend - Subtrahend = Differenz$
subtrahieren, minus rechnen, abziehen, Unterschied oder Differenz (Größere - Kleinere) ...
Division (:)
$\frac{Divisor}{Dividend}=Quotient$
teilen, dividieren, halbieren ...
Multiplikation ($\cdot$)
$Faktor \cdot Faktor = Produkt$
mal rechnen, vervielfachen, multiplizieren, das Produkt berechnen ...
Beispiel
Die Summe aus $14$ und $8$ ist das Gleiche wie das Doppelte von x.
$14+8 = {x}\cdot{2}$
Das Produkt aus der Differenz von $5$ und $2$ mit $10$ ist gleich $30$.
${5-2}\cdot{10}=30$
Diese Gleichungen können durch Äquivalenzumformung einfach ausgerechnet werden.
Haben wir Sachverhalte gegeben, wird der Text zunächst auf wichtige Informationen untersucht. Was ist gesucht und was ist gegeben? Markiere dir die wichtigen Informationen, damit der Text übersichtlich bleibt. Aus den Informationen muss anschließend eine Gleichung aufgestellt werden. Schauen wir uns einige Beispiele an:
Beispiel
1) Alter
Marla ist doppelt so alt wie Tim. Marla und Tim sind zusammen $30$ Jahre als. Wie alt ist Marla?
$m$ ist das Alter von Marla und $t$ ist das Alter von Tim. Dabei gilt: $m=2t$
$t + m = t +2t= 30$
$\Leftrightarrow 3t = 30 ~~~~~~~~~~~~~~~~~|:3$
$\Leftrightarrow t=10$
Tim ist $10$ Jahre alt und Marla ist $20$ Jahre alt.
Beispiel
2) Kerzen
Sarah zündet zwei verschiedene Kerzen gleichzeitig an. Die eine Kerze ist $25 cm$ lang und brennt mit jeder Minute $1 mm$ ab. Die andere Kerze ist $30 cm$ lang und brennt jede Minute $1,5 mm$ jede Minute.
Nach welcher Zeit sind beide Kerzen gleich lang?
Der Term beschreibt die Höhe der kürzeren Kerze in $cm$, wobei $x$ die Zeit in Minuten ist:
$25 cm - 1 mm \cdot x= 25 cm -0,1 cm \cdot x$
Der zweite Term beschreibt die Höhe der längeren Kerze in $cm$, wobei $x$ wieder die Zeit in Minuten ist:
$30 cm - 1,5 mm =30 cm - 0,15 cm \cdot x$
Da wir berechnen möchten, wann beide Kerzen gleich lang sind, müssen wir die Terme gleichsetzen. $\rightarrow Höhe1= Höhe 2$
$ 25 cm -0,1 cm \cdot x = 30 cm - 0,15 cm \cdot x~~~~~~|+0,15 \cdot x$
$\Leftrightarrow 25 cm +0,05 cm \cdot x = 30 cm ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|-25cm$
$\Leftrightarrow 0,05 cm \cdot x = 5 cm~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~| 0,05cm$
$\Leftrightarrow x = \frac{5cm}{0,05cm}= 100$
Nach $100$ min sind die beiden Kerzen gleich lang.
Probe:
$Höhe 1 = 25 cm -0,1 cm \cdot 100 = 15cm$
$Höhe 2 = 30 cm - 0,15 cm \cdot 100 = 15cm$
Nun haben wir anhand einiger Beispiele das Aufstellen und Lösen von Gleichungen gelernt. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!
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$\frac{15+3}{2}\cdot (6-4) = x-8$
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