Bruchgleichungen sind leider nicht immer so einfach zu lösen. Schwierig wird es vor allem dann, wenn die Variable $x$ gleich mehrmals in der Bruchgleichung vorkommt. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, wie $x$ mehrfach in einer Bruchgleichung auftauchen kann:
- die Variable $x$ ist im Zähler und Nenner des Bruchs
- die Variable $x$ ist im Nenner von zwei unterschiedlichen Brüchen
Beide Möglichkeiten schauen wir uns in diesem Text an.
Variable in Zähler und Nenner des Bruchs
Ist die Variable $x$ im Zähler und im Nenner desselben Bruchs, kannst du sie in der Regel auf einer Seite des Bruchs $x$ komplett rauskürzen.
Beispiel
$\frac{5\cdot x}{2\cdot x^2} = 10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} $
Schreiben wir $x^2$ als Multiplikation aus, lässt sich ein $x$ im Zähler und Nenner kürzen.
$\frac{5\cdot \textcolor{blue}{x}}{2\cdot x \cdot \textcolor{blue}{x}} = 10$
$\frac{5}{2\cdot x} = 10$
Wir erhalten eine Bruchgleichung mit einer Variablen im Nenner, die wir nach den bekannten Regeln umformen können.
$\frac{5}{2\cdot x} = 10~~~~| \cdot 2\cdot x$
$\frac{5\cdot 2\cdot x}{2\cdot x} = 10 \cdot 2\cdot x$
$5 = 10 \cdot 2 \cdot x$
$5 = 20 \cdot x~~~~~|:20$
$x = \frac{5}{20} = 0,25$
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Bruchgleichung mit mehreren Brüchen lösen
Befindet sich die Variable in den Nennern von zwei unterschiedlichen Brüchen, besteht die Bruchgleichung aus mehreren Brüchen.
Beispiel
$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$
1. Schritt: Brüche auf eine Seite bringen
$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}~~~~~| - (\frac{2}{x+1})$
$\frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = 0$
2. Schritt: Brüche zusammenfassen
Um die Brüche miteinander verrechnen zu können, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dies geschieht, indem wir Zähler und Nenner des einen Bruchs jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren. Wir machen also nichts anderes, als die Brüche gegenseitig zu erweitern.
$\frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = 0$
$\frac{1}{x} \cdot \frac{x+1}{x+1}- \frac{2}{x+1} \cdot \frac{x}{x}= 0$
$\frac{x+1}{x\cdot (x+1)} - \frac{2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
Die Brüche haben nun denselben Nenner und können subtrahiert werden, indem wir den Zähler subtrahieren und den Nenner beibehalten.
$\frac{x+1}{x\cdot (x+1)} - \frac{2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
$\frac{(x+1) - 2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
$\frac{-x + 1}{x\cdot (x+1)} = 0$
Wir haben die Brüche zusammengefasst und erhalten eine Bruchgleichung, die aus einem Bruch besteht.
3. Einfache Bruchgleichung ausrechnen
Um den Bruch zu eliminieren, multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nenner des Bruchs.
$\frac{-x + 1}{x\cdot (x+1)} = 0~~~~~| \cdot x\cdot (x+1)$
$\frac{(-x + 1)\cdot x\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)} = 0$
$-x+1 = 0~~~~|+x$
$x=1$
Merke
Schritte zum Lösen von Bruchgleichungen mit zwei Brüchen
- Brüche auf eine Seite bringen
- Brüche zusammenfassen
- Bruchgleichung ausrechnen
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