Bruchgleichungen mit mehreren Variablen lösen - so geht's
Bruchgleichungen sind leider nicht immer so einfach zu lösen. Schwierig wird es vor allem dann, wenn die Variable $x$ gleich mehrmals in der Bruchgleichung vorkommt. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, wie $x$ mehrfach in einer Bruchgleichung auftauchen kann:
- die Variable $x$ ist im Zähler und Nenner des Bruchs
- die Variable $x$ ist im Nenner von zwei unterschiedlichen Brüchen
Beide Möglichkeiten schauen wir uns in diesem Text an.
Variable in Zähler und Nenner des Bruchs
Ist die Variable $x$ im Zähler und im Nenner desselben Bruchs, kannst du sie in der Regel auf einer Seite des Bruchs $x$ komplett rauskürzen.
Beispiel
Beispiel
$\frac{5\cdot x}{2\cdot x^2} = 10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} $
Schreiben wir $x^2$ als Multiplikation aus, lässt sich ein $x$ im Zähler und Nenner kürzen.
$\frac{5\cdot \textcolor{blue}{x}}{2\cdot x \cdot \textcolor{blue}{x}} = 10$
$\frac{5}{2\cdot x} = 10$
Wir erhalten eine Bruchgleichung mit einer Variablen im Nenner, die wir nach den bekannten Regeln umformen können.
$\frac{5}{2\cdot x} = 10~~~~| \cdot 2\cdot x$
$\frac{5\cdot 2\cdot x}{2\cdot x} = 10 \cdot 2\cdot x$
$5 = 10 \cdot 2 \cdot x$
$5 = 20 \cdot x~~~~~|:20$
$x = \frac{5}{20} = 0,25$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Bruchgleichung mit mehreren Brüchen lösen
Befindet sich die Variable in den Nennern von zwei unterschiedlichen Brüchen, besteht die Bruchgleichung aus mehreren Brüchen.
Beispiel
Beispiel
$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$
1. Schritt: Brüche auf eine Seite bringen
$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}~~~~~| - (\frac{2}{x+1})$
$\frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = 0$
2. Schritt: Brüche zusammenfassen
Um die Brüche miteinander verrechnen zu können, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dies geschieht, indem wir Zähler und Nenner des einen Bruchs jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren. Wir machen also nichts anderes, als die Brüche gegenseitig zu erweitern.
$\frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = 0$
$\frac{1}{x} \cdot \frac{x+1}{x+1}- \frac{2}{x+1} \cdot \frac{x}{x}= 0$
$\frac{x+1}{x\cdot (x+1)} - \frac{2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
Die Brüche haben nun denselben Nenner und können subtrahiert werden, indem wir den Zähler subtrahieren und den Nenner beibehalten.
$\frac{x+1}{x\cdot (x+1)} - \frac{2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
$\frac{(x+1) - 2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
$\frac{-x + 1}{x\cdot (x+1)} = 0$
Wir haben die Brüche zusammengefasst und erhalten eine Bruchgleichung, die aus einem Bruch besteht.
3. Einfache Bruchgleichung ausrechnen
Um den Bruch zu eliminieren, multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nenner des Bruchs.
$\frac{-x + 1}{x\cdot (x+1)} = 0~~~~~| \cdot x\cdot (x+1)$
$\frac{(-x + 1)\cdot x\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)} = 0$
$-x+1 = 0~~~~|+x$
$x=1$
Merke
Merke
Schritte zum Lösen von Bruchgleichungen mit zwei Brüchen
- Brüche auf eine Seite bringen
- Brüche zusammenfassen
- Bruchgleichung ausrechnen
Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mithilfe unserer Übungsaufgaben testen. Dabei wünschen wir dir viel Erfolg!
Teste dein Wissen!
Wann ergibt der Bruch einen positiven Wert? ($>0$ )
Wie ist der Bruch korrekt gekürzt?
$\frac{5\cdot x}{7 \cdot x^2}$
Welchen Wert hat $x$? Löse die Bruchgleichung.
$\frac{3}{2+3\cdot x} + \frac{4}{8+x} = 0$
Die Schritte 1 bis 3 sollen eine sinnvolle Reihenfolge ergeben. Markiere die korrekte Sortierung.
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema











Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
(kostenlos und jederzeit)