Bruchgleichungen mit mehreren Variablen lösen - so geht's
Bruchgleichungen sind leider nicht immer so einfach zu lösen. Schwierig wird es vor allem dann, wenn die Variable $x$ gleich mehrmals in der Bruchgleichung vorkommt. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, wie $x$ mehrfach in einer Bruchgleichung auftauchen kann:
- die Variable $x$ ist im Zähler und Nenner des Bruchs
- die Variable $x$ ist im Nenner von zwei unterschiedlichen Brüchen
Beide Möglichkeiten schauen wir uns in diesem Text an.
Variable in Zähler und Nenner des Bruchs
Ist die Variable $x$ im Zähler und im Nenner desselben Bruchs, kannst du sie in der Regel auf einer Seite des Bruchs $x$ komplett rauskürzen.
Beispiel
Beispiel
$\frac{5\cdot x}{2\cdot x^2} = 10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} $
Schreiben wir $x^2$ als Multiplikation aus, lässt sich ein $x$ im Zähler und Nenner kürzen.
$\frac{5\cdot \textcolor{blue}{x}}{2\cdot x \cdot \textcolor{blue}{x}} = 10$
$\frac{5}{2\cdot x} = 10$
Wir erhalten eine Bruchgleichung mit einer Variablen im Nenner, die wir nach den bekannten Regeln umformen können.
$\frac{5}{2\cdot x} = 10~~~~| \cdot 2\cdot x$
$\frac{5\cdot 2\cdot x}{2\cdot x} = 10 \cdot 2\cdot x$
$5 = 10 \cdot 2 \cdot x$
$5 = 20 \cdot x~~~~~|:20$
$x = \frac{5}{20} = 0,25$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Bruchgleichung mit mehreren Brüchen lösen
Befindet sich die Variable in den Nennern von zwei unterschiedlichen Brüchen, besteht die Bruchgleichung aus mehreren Brüchen.
Beispiel
Beispiel
$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$
1. Schritt: Brüche auf eine Seite bringen
$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}~~~~~| - (\frac{2}{x+1})$
$\frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = 0$
2. Schritt: Brüche zusammenfassen
Um die Brüche miteinander verrechnen zu können, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dies geschieht, indem wir Zähler und Nenner des einen Bruchs jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren. Wir machen also nichts anderes, als die Brüche gegenseitig zu erweitern.
$\frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = 0$
$\frac{1}{x} \cdot \frac{x+1}{x+1}- \frac{2}{x+1} \cdot \frac{x}{x}= 0$
$\frac{x+1}{x\cdot (x+1)} - \frac{2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
Die Brüche haben nun denselben Nenner und können subtrahiert werden, indem wir den Zähler subtrahieren und den Nenner beibehalten.
$\frac{x+1}{x\cdot (x+1)} - \frac{2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
$\frac{(x+1) - 2\cdot x}{x\cdot (x+1)} = 0$
$\frac{-x + 1}{x\cdot (x+1)} = 0$
Wir haben die Brüche zusammengefasst und erhalten eine Bruchgleichung, die aus einem Bruch besteht.
3. Einfache Bruchgleichung ausrechnen
Um den Bruch zu eliminieren, multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nenner des Bruchs.
$\frac{-x + 1}{x\cdot (x+1)} = 0~~~~~| \cdot x\cdot (x+1)$
$\frac{(-x + 1)\cdot x\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)} = 0$
$-x+1 = 0~~~~|+x$
$x=1$
Merke
Merke
Schritte zum Lösen von Bruchgleichungen mit zwei Brüchen
- Brüche auf eine Seite bringen
- Brüche zusammenfassen
- Bruchgleichung ausrechnen
Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mithilfe unserer Übungsaufgaben testen. Dabei wünschen wir dir viel Erfolg!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Hol dir Hilfe beim Studienkreis!
Selbst-Lernportal Online
Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!
- Online-Chat 14-20 Uhr
- 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungsaufgaben
Einzelnachhilfe Online
Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!
- Online-Nachhilfe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Nachhilfe in deiner Nähe
Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Nachhilfe in deiner Nähe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Unsere Kunden über den Studienkreis
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
