Ungleichungen lösen

Ausnahmeregel beim Lösen von Ungleichungen

Eine wichtige Regel musst du allerdings beachten: Wenn du bei einer Ungleichung im Zuge einer Äquivalenzumformung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, musst du das Größer-Kleiner-Zeichen umdrehen.

Wieso muss man das? Schauen wir uns zur Beantwortung dieser Frage das Beispiel an.

$ 25 < 4 \cdot x +5  $

Das Ergebnis dieser Ungleichung kennen wir schon, nämlich $x > 5$. Dieses Ergebnis erhalten wir, wenn wir zunächst $-5$ und danach $:4$ rechnen. Es gibt aber auch noch einen zweiten, etwas komplizierteren Weg:

$ 25 < 4 \cdot x +5  | -25$

$   0 < 4 \cdot x -20   | - 4 \cdot x  $

$-  4 \cdot x < -20  $

Wie du siehst, haben wir die Variable in diesem Fall über einen deutlich längeren Rechenweg auf die linke Seite gebracht. Auch diese Ungleichung müsste $x>5$ ergeben.

$-  4 \cdot x < -20  $

$-  4 \cdot x < -20   | :(-4)  $

$ \textcolor{red}{x < 5}$

Was ist denn jetzt passiert? Wir haben die Gleichung wie immer umgeformt und erhalten genau das gegenteilige Ergebnis. Warum ist x auf einmal kleiner fünf? Tatsächlich ist x nicht kleiner als die Zahl fünf. Unser Ergebnis ist falsch!

Wir müssen uns aber keine Vorwürfe machen: Bis jetzt wussten wir es einfach noch nicht besser. Bei der Division durch eine negative Zahl muss man bei Ungleichungen eine Regel beachten, die es beim Lösen von Gleichungen nicht gibt: Man muss das Relationszeichen umdrehen. Dieselbe Regel musst du übrigens auch anwenden, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst.

Beachten wir diese neue Regel, kommen wir auch bei der obigen Ungleichung auf das richtige Ergebnis:

$-  4 \cdot x < -20   | \textcolor{green}{:(-4)}  $

$ x\textcolor{green}{>}5$

Nun weißt du, wie du mit Ungleichungen rechnen kannst und wie du diese löst. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungsaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!