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Ungleichungen lösen

In diesem Artikel beschäftigen wir uns damit, wie wir Ungleichungen mit einer unbekannten Variablen lösen können.

Beispielaufgabe

Schauen wir uns dieses Beispiel an:

$ 25 < 4 \cdot x +5$

Methode

Methode

Hier klicken zum AusklappenBeim Lösen einer Ungleichung erhältst du kein eindeutiges Ergebnis für $x$, sondern lediglich die Angabe, dass $x$ kleiner oder größer als eine bestimmte Zahl ist.

Um zu einem solchen Ergebnis zu kommen, müssen wir die Ungleichung nach $x$ auflösen. Mithilfe von Äquivalenzumformungen lösen wir die Ungleichung nach $x$ auf. Der einzige Unterschied zu den Gleichungen besteht darin, dass du anstelle des Gleichheitszeichens ein Relationszeichen zwischen den Termen hast. Schreiben wir zur Veranschaulichung einmal eine Gleichung und eine Ungleichung nebeneinander auf und rechnen:

$ 25 = 4 \cdot x +5   | -5 ~~~~~~~~~~~~~~~25 < 4 \cdot x +5 | -5$ 

$ 20 = 4 \cdot x        | :4 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~20 < 4 \cdot x      | :4$   

$  5 = x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5 < x$  

Die Rechnungen der Gleichung und der Ungleichung sind identisch, lediglich das Ergebnis unterscheidet sich.

Die Gleichung führt zu dem Ergebnis, dass $x$ für die Zahl $5$ steht; das heißt, nur die Zahl $5$ löst die Gleichung und somit ist nur die Zahl $5$ Lösung der Gleichung. Die Ungleichung hingegen führt zu dem Ergebnis, dass $x$ für eine beliebige Zahl, die größer als die Zahl $5$ ist, steht; das heißt, jede Zahl, die größer als die Zahl $5$ ist, löst die Ungleichung. Die Lösung der Ungleichung ist also ein Zahlenbereich, der unendlich groß ist.

Merke

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Ungleichungen lassen sich genauso wie Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen lösen.

Ausnahmeregel beim Lösen von Ungleichungen

Eine wichtige Regel musst du allerdings beachten: Wenn du bei einer Ungleichung im Zuge einer Äquivalenzumformung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, musst du das Größer-Kleiner-Zeichen umdrehen.

Merke

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Wenn man im Zuge einer Äquivalenzumformung eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, muss man das Relationszeichen umdrehen.

Wieso muss man das? Schauen wir uns zur Beantwortung dieser Frage das Beispiel an.

$ 25 < 4 \cdot x +5  $

Das Ergebnis dieser Ungleichung kennen wir schon, nämlich $x > 5$. Dieses Ergebnis erhalten wir, wenn wir zunächst $-5$ und danach $:4$ rechnen. Es gibt aber auch noch einen zweiten, etwas komplizierteren Weg:

$ 25 < 4 \cdot x +5  | -25$

$   0 < 4 \cdot x -20   | - 4 \cdot x  $

$-  4 \cdot x < -20  $

Wie du siehst, haben wir die Variable in diesem Fall über einen deutlich längeren Rechenweg auf die linke Seite gebracht. Auch diese Ungleichung müsste $x>5$ ergeben.

$-  4 \cdot x < -20  $

$-  4 \cdot x < -20   | :(-4)  $

$ \textcolor{red}{x < 5}$

Was ist denn jetzt passiert? Wir haben die Gleichung wie immer umgeformt und erhalten genau das gegenteilige Ergebnis. Warum ist x auf einmal kleiner fünf? Tatsächlich ist x nicht kleiner als die Zahl fünf. Unser Ergebnis ist falsch!

Wir müssen uns aber keine Vorwürfe machen: Bis jetzt wussten wir es einfach noch nicht besser. Bei der Division durch eine negative Zahl muss man bei Ungleichungen eine Regel beachten, die es beim Lösen von Gleichungen nicht gibt: Man muss das Relationszeichen umdrehen. Dieselbe Regel musst du übrigens auch anwenden, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst.

Beachten wir diese neue Regel, kommen wir auch bei der obigen Ungleichung auf das richtige Ergebnis:

$-  4 \cdot x < -20   | \textcolor{green}{:(-4)}  $

$ x\textcolor{green}{>}5$

Nun weißt du, wie du mit Ungleichungen rechnen kannst und wie du diese löst. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungsaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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