Gleichungen durch Umformen lösen - so geht's richtig!
Schauen wir uns nun an, wie man Gleichungen lösen kann. Dein wichtigstes Werkzeug ist dabei die sogenannte Äquivalenzumformung. Was diese Umformung genau bedeutet, schauen wir uns jetzt genauer an:
Gegeben ist folgende, sehr einfache Gleichung:
$ 9 = 9 $
Was passiert, wenn ich sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite $+ 3$ rechne?
$9 = 9 | \color{blue}+ 3$
$9 \textcolor{blue}{+3} = 9 \textcolor{blue}{+3}$
$12 = 12$
Du fragst dich jetzt wahrscheinlich, wieso wir so etwas unglaublich Einfaches machen? Es ist jedoch wichtig, dass du einmal genau über das nachdenkst, was für dich so selbstverständlich ist. Wir haben auf beiden Seiten die Zahl $3$ addiert und erhalten nun andere Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung ($12$). Die Zahlen sind nun größer, aber die mathematische Aussage der Gleichung ("die linke Seite gleich der rechten Seite") ist immer noch richtig. Was soll uns das bringen? Schauen wir nun einmal eine Gleichung mit einer Variablen an:
$x - 4 = 5$
Wie würdest du diese Aufgabe angehen? Dein Ziel ist es, herauszufinden für welche Zahl das $x$ steht. Wir möchten am Ende unserer Rechnung einen solchen Term haben:
$x = [...]$
Unsere Aufgabe ist es also, die Gleichung so umzustellen, dass das $x$ auf einer der beiden Seiten allein steht. Dabei darf ich natürlich nicht die mathematische Logik, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist, verletzen. Erst vor wenigen Zeilen hast du eine unglaublich einfache Methode dafür kennengelernt: Wir können auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren, denn damit verändern wir den mathematischen Ausdruck nicht. Jetzt musst du nur noch eine Frage beantworten: Welche Zahl sollen wir zu dem Term $x -4$ addieren, damit $x$ allein steht?
$x - 4 = 5 | \textcolor{blue}{+4}$
$x - 4 \textcolor{blue}{+4} = 5 \textcolor{blue}{+4} $
$x - 0 = 9$
$x = 9$
Wenn du auf beiden Seiten $4$ addierst, erhältst du den Ausdruck $x = 9$ und die Gleichung ist gelöst.
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Arten der Äquivalenzumformung
Bei der Äquivalenzumformung musst du nicht immer addieren. Sie funktioniert bei allen vier Rechenoperationen. Schauen wir uns hierzu je ein Beispiel an:
Beispiel
Addition
Die Addition hast du bereits kennengelernt. Hier noch ein weiteres Beispiel:
$x - 34 = 22$ | + 34
$x = 56$
Die Addition ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Subtraktion steht (Minusrechnung).
Beispiel
Subtraktion
$x + 3 = 7 |\textcolor{blue}{-3}$
$x + 3 \textcolor{blue}{-3} = 7 \textcolor{blue}{-3} $
$x + 0 = 4$
$x = 4$
Die Subtraktion ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Summe steht (Plusrechnung).
Beispiel
Multiplikation
$\frac{x}{3} = 5 |\textcolor{blue}{\cdot 3}$
$\frac{x\textcolor{blue}{\cdot 3}}{3} = 5 \textcolor{blue}{\cdot 3}$
$x \cdot \frac{\textcolor{blue}{3}}{3} = 15$
$x \cdot 1 = 15$
$x = 15$
Die Multiplikation ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ im Zähler eines Bruches oder allgemein in einer Division steht.
Beispiel
Division
$5 \cdot x = 30 |\textcolor{blue}{:5}$
$\frac{5\cdot x}{\textcolor{blue}{5}} = \frac{30}{\textcolor{blue}{5}}$
$\frac{5}{\textcolor{blue}{5}} \cdot x = 6$
$ 1 \cdot x = 6$
$x = 6$
Die Division ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einem Produkt steht.
Anwendung mehrerer Äquivalenzumformungen zum Lösen einer Gleichung
Natürlich sind die Gleichungen nicht immer so einfach wie in diesen Beispielen. Bei komplexeren Gleichungen musst du die Methoden kombinieren. Schauen wir uns einmal ein schwierigeres Beispiel an:
$16 - 4 \cdot x = 20$
Die Variable steht in einem Term, in dem multipliziert und subtrahiert wird. Wir wollen die Gleichung nach $x$ auflösen. Dazu wollen wir zunächst die $16$ auf der linken Seite der Gleichung entfernen:
$16 - 4 \cdot x = 20 | -16$
$ -4 \cdot x = 4$
Jetzt ist $x$ nur noch Teil eines Produktes und wir wenden die Division an.
$ -4 \cdot x = 4 |:(-4)$
$ x = -1 $
Merke
Um eine Gleichung zu lösen, wendet man die Äquivalenzumformung an. Dabei gilt:
- Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.
- Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl (außer null) multiplizieren oder dividieren.
Gleichungen lösen, in denen die Variable mehrmals vorkommt - Aufgabe mit Lösung
Es kann auch passieren, dass du auf eine Gleichung stößt, bei der sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite die Variable steht.
Zunächst musst du auf jeder Seite der Gleichung den Term soweit wie möglich vereinfachen, indem du zusammenfasst, was du zusammenfassen kannst:
$6 \cdot x + 6 - 2 \cdot x = 10 - x + 6$
$4 \cdot x + 6 = 16 - x $
Nun musst du die Variable auf die eine Seite der Gleichung und die Zahlen ohne Variable auf die andere Seite der Gleichung bringen. Auch dabei hilft dir die Äquivalenzumformung. Der einzige Unterschied: $x$ ist dieses Mal auch Teil der Umformung.
$4 \cdot x + 6 = 16 - x | \textcolor{blue}{+ x}$
$4 \cdot x + 6 \textcolor{blue}{+ x }= 16 - x \textcolor{blue}{+ x} $
$5 \cdot x + 6 = 16 $
Wir erhalten eine Gleichung, die wir mittels weiterer Äquivalenzumformungen lösen können.
$5 \cdot x + 6 = 16 | - 6$
$5 \cdot x = 10 | : 5$
$ x = 2 $
Am Ende der Aufgabe solltest du immer überprüfen, ob $x$ auch wirklich stimmt. Setze dazu einfach deine gefundene Zahl in die Ausgangsgleichung ein:
$6 \cdot 2 + 6 - 2 \cdot 2 = 10 - x + 6$
$12 + 6 - 4 = 10 - 2 + 6$
$14 = 14$
Erhältst du, wie in diesem Beispiel, einen mathematisch korrekten Ausdruck, hast du richtig gerechnet.
Merke
Beim Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrmals vorkommt, gelten folgende Arbeitsschritte:
(1) Die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung soweit wie möglich vereinfachen (zusammenfassen).
(2) Die Variable durch Äquivalenzumformung auf eine Seite bringen.
(3) Die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen lösen.
Nun hast du einen detaillierten Einblick darüber erhalten, wie man Gleichungen umformen und lösen kann. Um dein Wissen zu vertiefen, teste dich in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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