Das Rechnen mit Brüchen ist ein elementares Verfahren der Mathematik und darüber hinaus auch in anderen Naturwissenschaften, wie etwa der Physik, von großer Bedeutung. Brüche lassen sich auf vielerlei Arten beschreiben. Man könnte sagen sie drücken Verhältnisse aus oder geben Anteile an. Tatsächlich benutzen wir Brüche sehr oft in unserer Alltagssprache, ohne es zu merken.
Beispiel
Ich esse einen halben Apfel.
Das Schwimmbad ist gerade mal einen viertel Kilometer entfernt.
Die Milchtüte ist noch zu einem Drittel voll.
In der Mathematik drücken wir Brüche mit Hilfe eines Bruchstrichs aus:
- ein Halb: $\frac{1}{2}$
- ein Viertel: $\frac{1}{4}$
- ein Drittel: $\frac{1}{3}$
Die Zahl oberhalb des Bruchstrichs nennt man den Zähler, die Zahl unterhalb des Bruchstrichs den Nenner. Zähler und Nenner können ganz unterschiedliche Zahlen annehmen.
Beispiel
Isst du etwa eine halbe Pizza, schneidest du sie in zwei Stücke und isst eins ($\frac{1}{2}$). Isst du hingegen drei Viertel der Pizza schneidest du sie in vier Stücke und isst drei ($\frac{3}{4}$).
Merke
$\large{\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} = \frac{\textcolor{red}{Zähler}}{\textcolor{blue}{Nenner}}}$
Merksatz: $\textcolor{red}{Zäh}\textcolor{blue}{ne}$
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Der Bruch als Division
Der Bruchstrich zwischen Zähler und Nenner hat letztendlich dieselbe Bedeutung wie eine Division. Man kann Brüche also auch ausrechnen:
- $\frac{1}{2} = 0,5$
- $\frac{1}{8} = 0,125$
- $\frac{5}{4} = 1,25$
Merke
Ein Bruch steht für eine Division. Zähler und Nenner können dabei völlig unterschiedliche ganze Zahlen annehmen. Der Nenner muss nicht unbedingt ein kleinerer Wert sein.
Umgekehrt lassen sich auch alle ganzen Zahlen als Bruch schreiben.
Beispiel
$5 = \frac{5}{1}$
$9 = \frac{9}{1}$
Die Zahl Null im Bruch
Befindet sich im Zähler des Bruchs eine $0$, so ist der gesamte Bruch $0$.
Beispiel
$\frac{0}{3} = 0$
Im Gegensatz dazu, darf sich im Nenner eines Bruchs keine $0$ befinden, da der Bruch eine Division beschreibt und eine Division durch $0$ nicht erlaubt ist.
Beispiel
$\frac{3}{0} = ~NICHT~ERLAUBT$
Negative Zahlen im Bruch
Da für einen Bruch alle ganzen Zahlen zugelassen sind, können diese natürlich auch negative Werte haben. Sind Zähler oder Nenner negativ, kann man das Minus-Zeichen einfach vor den Bruch setzen.
Beispiel
$\frac{-5}{4} = -~\frac{5}{4}$
$\frac{9}{-5} = -~\frac{9}{5}$
Sind Zähler und Nenner negativ, kürzt sich das Minus-Zeichen weg. Das ist logisch, da zwei negative Zahlen durcheinander geteilt werden, was wiederum eine positive Zahl ergibt.
Beispiel
$\frac{-5}{-4} = \frac{5}{4}$
Kehrwert eines Bruchs
Der Kehrwert eines Bruchs ist nichts anderes als ein Bruch dessen Nenner und Zähler miteinander vertauscht wurden.
Merke
Kehrwert
$\large{\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \rightarrow \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}}}$
Der Kehrwert eines Bruchs ergibt mit dem eigentlichen Bruch multipliziert immer $1$.
$\large{\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \cdot \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}} = 1}$
Du erhältst den Kehrwert also, indem du den Bruch umdrehst.
Beispiel
$\frac{3}{10} \rightarrow \frac{10}{3}$
$\frac{5}{4} \rightarrow \frac{4}{5}$
Oft wirst du auch nach dem Kehrwert einer ganzen Zahl gefragt. Da diese Zahl auf den ersten Blick keinen Nenner hat, musst du sie zunächst in einen Bruch umwandeln und danach den Kehrwert bilden.
Beispiel
$5 = \frac{5}{1} \rightarrow \frac{1}{5}$
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