Bruchungleichungen lösen: Erklärung und Beispiele
Neben linearen Ungleichungen gibt es auch Bruchungleichungen. Eine Bruchungleichung ist eine Ungleichung, die aus mindestens einem Bruchterm besteht. Ein Bruchterm ist ein Bruch, dessen Nenner eine Variable enthält. Wie lineare Ungleichungen lassen sich auch Bruchungleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen. Und auch bei den Bruchungleichungen musst du beachten, dass du das Relationszeichen > 0 oder < 0 setzt.
Beispiel
Beispiel
$\frac{x+2}{x-5} > 0$
Definitionsmenge einer Bruchungleichung
Wie bei der Bruchgleichung muss auch bei der Bruchungleichung zunächst die Definitionsmenge von $x$ bestimmt werden. Der Nenner eines Bruches darf niemals $0$ ergeben. Eine Division durch $0$ ist mathematisch nämlich nicht erlaubt. Das heißt, die Variable $x$ darf alle Werte annehmen mit Ausnahme der Zahlen, die dazu führen würden, dass der Nenner des Bruches $0$ ergeben würde. Um die Definitionsmenge zu bestimmen, setzen wir also den Nenner des Bruches gleich $0$ und stellen dann nach $x$ um:
$x-5 = 0~~~~|+5$
$x = 5$
Die Variable $x$ darf somit alle Werte annehmen mit Ausnahme der Zahl $5$.
$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{5\} $
Lösen einer Bruchungleichung
$\frac{x+2}{x-5} > 0$
Das Ergebnis des Bruchterms muss laut der Ungleichung größer als $0$ sein. Bevor wir nun damit beginnen die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen zu lösen, müssen wir uns zunächst überlegen, unter welchen Bedingungen das Ergebnis des Bruchterms größer als null ist.
1. Fall: Zähler und Nenner sind größer als $0$
Sind Zähler und Nenner beide positiv, so ist auch das Ergebnis des Bruchterms positiv. Mathematisch bedeutet das folgendes:
$x+2 > 0~~~~~$und$~~~~~x-5 > 0$
Merke
Merke
Bei Bruchungleichungen werden Zähler und Nenner separat betrachtet.
Wir erhalten also je eine lineare Ungleichung für den Zähler und den Nenner. Lösen wir diese Ungleichungen weiter auf, erhalten wir:
$x+2 > 0~~~ \leftrightarrow ~~~x > - 2$
$x-5 > 0 ~~~\leftrightarrow ~~~x > 5$
Die Variable $x$ muss also größer als $-2$ und größer als $5$ sein. Diese Bedingung erfüllen alle Zahlen, die größer als $5$ sind. Zahlen, die größer als $-2$, aber kleiner als $5$ sind, zählen nicht zur Lösung.
$x > 5$
Dieses Ergebnis ist jedoch nur ein Teil der Lösung. Das Ergebnis des Bruchterms ist nämlich auch dann positiv, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruches negativ ist. Zum Lösen der Bruchungleichung müssen wir also noch einen weiteren Fall betrachten.
2. Fall: Zähler und Nenner sind kleiner als $0$
Das Ergebnis des Bruchterms ist auch dann positiv, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchterms negativ ist. (Du erinnerst dich bestimmt daran, dass die Division zweier negativer Zahlen zu einem positiven Ergebnis führt.)
Gut zu wissen
Hinweis
$\frac{-a}{-b} > 0$
Zähler und Nenner werden wieder in zwei unterschiedlichen Ungleichungen betrachtet:
$x+2 < 0~~~ \leftrightarrow ~~~x < - 2$
$x-5 < 0~~~ \leftrightarrow ~~~x < 5$
Die Variable $x$ muss kleiner als $-2$ und kleiner als $5$ sein. Auch diese Aussage schließt die Zahlen zwischen $-2$ und $5$ aus.
$x < -2 $
Tragen wir beide Ergebnisse für $x$ zusammen, erhalten wir folgende Lösungsmenge:
$\mathbb{L} = \{x<-2; x>5 \}$
Die Variable $x$ muss entweder kleiner als $-2$ oder größer als $5$ sein.
Die Variable $x$ darf laut Definitionsmenge den Wert $5$ nicht annehmen. Da dieser Wert in der Lösungsmenge nicht enthalten ist, ist die Bruchungleichung richtig gelöst.
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