Ungleichungen - Definition und Beispiele
Der Begriff Ungleichung wird dir vielleicht neu sein. Ähnlich wie bei einer Gleichung gibt es auch bei einer Ungleichung zwei Terme, die aber - wie du wahrscheinlich schon vermutest - nicht gleich sind. Dargestellt wird dies (in der Mathematik) mithilfe des Ungleichheitszeichens.
Ungleichungen - Definition
Merke
Eine Ungleichung beschreibt zwei Terme, die ungleich zueinander sind und verbindet diese durch ein Relationszeichen ($x > y$ und $x < y$ oder $x \le y$ und $x \ge y$).
Beim Lösen einer Ungleichung erhältst du kein eindeutiges Ergebnis für $x$, sondern lediglich die Angabe, dass $x$ kleiner oder größer als eine bestimmte Zahl ist.
Was bedeuten die unterschiedlichen Zeichen?
Vielleicht sind dir Äußerungen wie "größer als" oder "kleiner als" in Mathe schon einmal begegnet. Im Folgenden stellen wir den Zusammenhang zwischen diesen Äußerungen und dem Relationszeichen her:
- $a < b$ gesprochen: a ist kleiner als b
- $a > b$ gesprochen: a ist größer als b
- $a \le b$ gesprochen: a ist kleiner oder gleich b
- $a \ge b$ gesprochen: a ist größer oder gleich b
Die große Öffnung des Relationszeichens zeigt immer zur größeren Zahl. Mit dieser Überlegung lässt sich auch das Gleichheitszeichen erklären, dessen Seiten gleich groß geöffnet sind.
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Ungleichungen - Beispiele
Beispiel
(1) $5 < 12$
gesprochen: Fünf ist kleiner als Zwölf.
(2) $12 > 5$
gesprochen: Zwölf ist größer als Fünf.
(3) $ 25 < 4 \cdot x +5$
gesprochen: Fünfundzwanzig ist kleiner als Vier mal x plus Fünf.
(4) $ 3 \cdot x > 5$
gesprochen: Drei mal x ist größer als Fünf.
Warum benutze ich bei einer Ungleichung nicht das Ungleichheitszeichen ($\neq$)?
Du kennst das Gleichheitszeichen ($=$) und vielleicht auch schon das Ungleichheitszeichen ($\neq$). Das Ungleichheitszeichen ist jedoch kein Bestandteil der Ungleichung, wie es der Name vermuten lassen würde. Theoretisch könnten wir auch eine Ungleichung mit einem Ungleichheitszeichen lösen, aber mathematisch macht dies wenig Sinn. Wir könnten zwar die Gleichung nach $x$ auflösen, wüssten dann aber nur, welche Zahl $x$ nicht sein kann. Das heißt, die Zahl $x$ bleibt weiter unbekannt, da es unendlich viele Möglichkeiten gibt.
Vertiefung
Ungleichheitszeichen in Ungleichungen
$ 25 \neq 4 \cdot x +5$
$ \color{green}25 \neq 4 \cdot 4 +5$
$ \color{red}25 \neq 4 \cdot 5 +5$
$ \color{green}25 \neq 4 \cdot 6 +5$
$ \color{green}25 \neq 4 \cdot 7 +5$
Wir können also nur sagen, welchen Wert $x$ nicht annehmen darf: $x \neq 5$
Wir können aber nicht sagen, für welche Zahl $x$ konkret steht.
Um diesem Problem zu entgehen, arbeiten wir bei Ungleichungen in der Mathematik mit sogenannten Relationszeichen (größer- und kleiner-Zeichen).
Die beiden Terme einer Ungleichung werden also mit einem Relationszeichen verbunden. Am Ende der Ungleichung können wir aber dennoch nicht sagen, für welche Zahl $x$ konkret steht. Mithilfe des Relationszeichens können wir jedoch einen Zahlenbereich angeben, der die Ungleichung löst. Dieser Zahlenbereich ist dann die Lösung der Ungleichung.
Nun hast du eine Übersicht darüber erhalten, was Ungleichungen sind und wie du mit ihnen umgehen kannst. Vertiefe dein neues Wissen zu Ungleichungen in unsere Beispielübungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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