Mathematik > Terme und Gleichungen

So löst du eine Gleichung

Inhaltsverzeichnis:

Die Gleichung ist wahrscheinlich schon oft bei dir im Matheunterricht vorgekommen, denn das mathematische Zeichen, das eine Gleichung beschreibt, kennst du seit der Grundschule: das Gleichheitszeichen ($=$). Dieses Zeichen beschreibt die Gleichheit zweier Terme. Diese Terme können aus Additionen, Divisionen, Multiplikationen und Subtraktionen bestehen oder auch aus nur einer Zahl.

Beispiel

Beispiel

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simple Gleichung

$ 5 = 5$

Beispiel

Beispiel

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komplexe Gleichung

$2 \cdot 5 + \frac{1}{4} - 3 = 7 - 4 + 2 \cdot 2 + \frac{1}{4}$

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Gleichungen mit einer unbekannten Variable lösen

Eine Gleichung wird für uns dann interessant, wenn eine Zahl, in einem der Terme, unbekannt ist. Für die unbekannte Zahl schreiben wir ein $x$ (oder manchmal auch einen anderen Buchstaben). Es ist nun deine Aufgabe, herauszufinden, für welche Zahl das $x$ in der Gleichung steht, das heißt, welche Zahl du anstelle des $x$ schreiben musst, damit die Gleichung zu einer wahren Aussage führt. Bei einfachen Gleichungen kannst du $x$ durch Ausprobieren finden. Hierzu ein Beispiel:

Vertiefung

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$3 \cdot x + 2 = 14$ ,  $x = 4$  

$\color{red}3 \cdot 1 + 2 = 5$

$\color{red}3 \cdot 2 + 2 = 8$     

$\color{red}3 \cdot 3 + 2 = 11$  

$\color{green}3 \cdot 4 + 2 = 14$                                                    

Deine Aufgabe beim Lösen einer Gleichung ist soweit also eigentlich recht simpel. Du darfst Detektiv spielen und herausfinden, welche Zahl sich als ein $x$ getarnt hat. Dies kannst du machen, indem du einfach verschiedene Zahlen anstelle des $x$ einsetzt und so ausprobierst, welche Zahl die Gleichung löst.

Leider sind die Gleichungen in den meisten Aufgaben deutlich länger und komplexer als in unserem Beispiel. In solchen Fällen findest du die Lösung dann nicht mehr durch Ausprobieren, sondern musst andere Methoden als das Ausprobieren benutzen. Wir werden im Folgenden einige der wichtigsten Methoden erlernen, damit dir demnächst kein $x$ mehr unbekannt bleibt.    

Merke

Merke

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Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

Deine Aufgabe ist es die Gleichung zu lösen, das heißt, für die Variable $x$ eine Zahl zu finden, mit der beide Terme denselben Wert annehmen.

Vorgehensweise - Lösen einer Gleichung mit unbekannter Variable

Damit du dir notieren und einprägen kannst, wie man schrittweise eine Gleichung mit einer unbekannten Variable löst, findest du im Folgenden eine Anleitung dazu.

  1. 2 Terme liegen vor. Mindestens ein Term verfügt über eine unbekannte Variable (meist $x$).
  2. Das Gleichheitszeichen zwischen beiden Termen gibt an, dass der linke Term dem rechten Term gleicht.
  3. Du setzt nacheinander für $x$ Zahlen ein (z.B. $x=1$; $x=2$; $x=3$; usw.) und erhältst nach einigen Versuchen die Zahl für die bisher unbekannte Variable $x$, dass der linke Term dem rechten gleicht.
  4. Durch Umformen lässt sich eine unbekannte Variable ebenfalls herausfinden. Dieses Verfahren nennt man Äquivalenzumformung. Im Lerntext zum Thema Äquivalenzumformung kannst du nachlesen, wie du hierbei vorgehst. 

Nun weißt du, wie man einfache Gleichungen löst, oder solche mit einer unbekannten Variable. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Wofür steht x und y? Löse durch Ausprobieren. Rechne danach x + y und gib diese Summe als Ergebnis an.

$14 - x = 5$

$y + 3 =19$

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Wofür steht x? Löse durch Ausprobieren.

$x + 6 = 17$

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Wofür steht x? Löse durch Ausprobieren.

$2 \cdot x - 4 = 6$

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Wofür steht x? Löse durch Ausprobieren und markiere die richtige Antwort.

$x \cdot 6 = 72$

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