Prozente sind eine andere Schreibweise für eine ganz bestimmte Gruppe von Brüchen. Die Prozent- und Bruchrechnung haben also viel gemeinsam. Schauen wir uns einmal an, wie wir unser Wissen über Brüche mit der Prozentrechnung verbinden und so einfach einen Bruch in Prozent oder Prozent in Bruch umwandeln können.
Prozent bedeutet von 100 und wird durch dieses Zeichen $\%$ ausgedrückt. Prozente beschreiben also Brüche, deren Nenner den Wert $100$ haben. Wir können also folgenden Zusammenhang erkennen:
- $1 \%$ = einer von $100$ = $\frac{1}{100}$
- $5 \%$ = fünf von $100$ = $\frac{5}{100}$
- $35 \%$ = 35 von $100$ = $\frac{35}{100}$
- $100 \%$ = 100 von $100$ = $\frac{100}{100}$
Einige dieser Brüche lassen sich durch Kürzen noch weiter vereinfachen.
Beispiel
$25 \%$ = 25 von $100$ = $\frac{25}{100}~=~\frac{1}{4}$
$50 \%$ = 50 von $100$ = $\frac{50}{100}~=~\frac{1}{2}$
$75 \%$ = 75 von $100$ = $\frac{75}{100}~=~\frac{3}{4}$
$100 \%$ = 100 von $100$ = $\frac{100}{100}~=~1$
Prozent in einen Bruch umwandeln
Die Umwandlung von Prozent in einen Bruch haben wir zu Beginn des Textes schon gemacht. Wenn du eine Prozentangabe in einen Bruch umrechnen möchtest, kannst du folgender Regel folgen:
Merke
Um Prozentangaben in Brüche umzuwandeln, schreibst du die Prozentangabe ohne Prozentzeichen in den Zähler und eine $100$ in den Nenner.
$ X~\%~=~\frac{X}{100}$
Beispiel
Schreibe $7\%$ als Bruch.
$ 7~\%~=~\frac{7}{100}$
Schreibe $20\%$ als Bruch.
$ 20~\%~=~\frac{20}{100}~=~\frac{1}{5}$
Schreibe $45\%$ als Bruch.
$ 45~\%~=~\frac{45}{100}~=~\frac{9}{20}$
Schreibe $93\%$ als Bruch.
$ 93~\%~=~\frac{93}{100}$
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Brüche in Prozente umwandeln
Du kannst auch den umgekehrten Weg gehen und Brüche in Prozentangaben umwandeln. Dabei lassen sich nur solche Brüche als Prozent schreiben, deren Nenner sich auf $100$ erweitern oder kürzen lässt.
Merke
Brüche werden in Prozentangaben umgewandelt, indem man sie auf den Nenner $100$ erweitert oder kürzt.
Beispiel
Wandel den Bruch $\frac{4}{20}$ in Prozent um.
$\frac{4}{20}~=~\frac{20}{100}~=~20~\%$
Wandel den Bruch $\frac{45}{500}$ in Prozent um.
$\frac{45}{500}~=~\frac{9}{100}~=~9~\%$
Wandel den Bruch $\frac{8}{20}$ in Prozent um.
$\frac{8}{20}~=~\frac{40}{100}~=~40~\%$
Wandel den Bruch $\frac{25}{50}$ in Prozent um.
$\frac{25}{50}~=~\frac{50}{100}~=~50~\%$
Brüche, die nicht auf 100 erweiterbar sind
Es kann Brüche geben, bei denen der Nenner nicht ohne Weiteres auf 100 erweitert werden kann. Dann kann die Regel, die du gerade kennengelernt hast, nicht angewendet werden und wir müssen anders verfahren. Nehmen wir uns den Bruch $\frac{2}{7}$ als Beispiel. Da der Nenner $7$ kein Teiler von 100 ist, können wir hier nicht erweitern. Stattdessen teilen wir den Zähler durch den Nenner, um auf die Prozentangebe zu kommen.
$ 2 : 7 = 0,285714 ... $ $\approx 0,29$
Die ersten beiden Nachkommastellen der Lösung ergeben den Zähler, den du brauchst. Als Nenner wird wieder die Zahl 100 genommen. Es ergibt sich folgender Bruch: $\frac{29}{100}$ und das sind $29$%.
Methode
Wenn du die Prozentangabe aus einem Bruch berechnen möchtest, dessen Nenner nicht auf 100 erweiterbar ist, kannst du allgemein wie folgt vorgehen:
$ Zähler : Nenner = 0,XX$
$\rightarrow$$\frac{XX}{100}$
$\rightarrow$$XX$%
Gemischte Brüche
Wenn du mit Brüchen arbeiten sollst, die einen Zähler haben, der größer als der Nenner ist, wird ähnlich verfahren. Du musst jedoch bei der Bestimmung des Zählers auf eine Besonderheit achten. Schauen wir uns das einmal am Beispiel des Bruchs $\frac{9}{7}$ (dieser wird auch in der gemischten Schreibweise $1\frac{2}{7}$ dargestellt) an. Hier wird bei dem Ergebnis der Division ($9 : 7$ $\approx 1,29$) auch die Stelle, die vor dem Komma steht, in den Zähler eingetragen ($\frac{129}{100}$$\rightarrow129$%).
Prozentangaben aus einer Grafik ablesen
Du kannst Prozentangaben auch aus einer solchen Rastergrafik ablesen. Dazu stellst du zunächst den Bruch auf, der den Anteil der bunten Kästchen an der Anzahl aller Kästchen darstellt.
$17$ der insgesamt $50$ Kästchen sind gefärbt. Dieser Anteil entspricht dem Bruch $\frac{17}{50}$. Um diesen Bruch in eine Prozentangabe umzuwandeln, erweitern wir ihn mit $2$.
$\frac{17}{50}~=~\frac{34}{100}~=~34~\%$
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