Brüche addieren und subtrahieren - So geht's

Brüche auf einen Nenner bringen

Wie du dir bereits denken kannst, erfüllen die meisten Brüche, die du in Matheaufgaben addieren oder subtrahieren musst, diese Bedingung nicht. Für den Fall, dass du zwei Brüche miteinander addieren oder subtrahieren willst, die nicht den selben Nenner haben, musst du einen oder auch beide Brüche so umformen, dass sie denselben Wert im Nenner haben.

Wir möchten folgende Brüche addieren:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Die Nenner der beiden Brüche ($4$ und $2$) sind unterschiedlich. Ziel ist es nun, die beiden Brüche so umzuformen, dass sie denselben Wert im Nenner haben. Beim Umformen müssen wir aber darauf achten, dass wir den Wert des Bruches nicht ändern. Die zwei wichtigsten Methoden zum Umformen von Brüchen sind das Erweitern und das Kürzen.

Erweiterung des Bruchs um den Wert des jeweils anderen Nenners

Eine Methode, die praktisch immer funktioniert, ist die, bei der die Brüche um den Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitert werden.

$\frac{3}{\textcolor{red}{4}} + \frac{1}{\textcolor{blue}{2}}$

Für unser Beispiel würde dies bedeuten, dass wir den Bruch $\frac{3}{4}$ mit dem Wert $\textcolor{blue}{2}$ erweitern und den Bruch $\frac{1}{2}$ mit dem Wert $\textcolor{red}{4}$.

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}  = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} + \frac{4}{8}$

Sonderfall: die Nenner sind Vielfache voneinander

Sind die Nenner Vielfache voneinander, können wir die Brüche auf einen Nenner bringen, indem wir nur einen der beiden Brüche umformen. In unserem Beispiel ist der Nenner $\textcolor{red}{4}$ ein Vielfaches vom Nenner $\textcolor{blue}{2}$. Es würde also auch genügen, $\frac{1}{2}$ so lange zu erweitern, bis im Nenner eine $4$ steht.

$\frac{3}{\textcolor{red}{4}} + \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} = \frac{3}{4} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Der gemeinsame Nenner ist ein anderer als bei der ersten Methode. Beide Rechnungen sind allerdings korrekt.

Brüche addieren

Haben wir beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, können wir mit der eigentlichen Rechnung fortfahren:

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3 + 2}{4} = \frac{5}{4}$

Wie du siehst, musst du einfach nur noch die Zahlen im Zähler addieren. Der Nenner bleibt unverändert. Als Ergebnis erhalten wir einen einzigen Bruch.

Brüche subtrahieren

Das Subtrahieren von Brüchen funktioniert genauso wie die Addition. Betrachten wir folgendes Beispiel, bei dem die Brüche schon auf einen gemeinsamen Nenner gebracht worden sind:

$\frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 2}{3} = \frac{7}{3}$

Zur Vertiefung dieser Regeln schau auch noch einmal in die Übungen!