Brüche addieren und subtrahieren - So geht's
Um mit Brüchen rechnen zu können, musst du einige grundsätzliche Regeln beachten. Die Addition und Subtraktion von Brüchen funktioniert nämlich nicht so einfach wie bei ganzen Zahlen. Es gibt eine wichtige Bedingung, ohne die Brüche nicht addiert oder subtrahiert werden können: die Nenner der Brüche müssen dieselben sein. Der Zähler, also die Zahl oberhalb des Bruchstrichs, kann unterschiedlich sein.
Merke
Um Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen beide denselben Nenner haben.
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Brüche auf einen Nenner bringen
Wie du dir bereits denken kannst, erfüllen die meisten Brüche, die du in Matheaufgaben addieren oder subtrahieren musst, diese Bedingung nicht. Für den Fall, dass du zwei Brüche miteinander addieren oder subtrahieren willst, die nicht den selben Nenner haben, musst du einen oder auch beide Brüche so umformen, dass sie denselben Wert im Nenner haben.
Merke
Besitzen zwei Brüche unterschiedliche Werte im Nenner, musst du diese erst umformen, um mit ihnen rechnen zu können. Diese Umformung nennt man auch die Brüche auf einen Nenner bringen.
Wir möchten folgende Brüche addieren:
$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$
Die Nenner der beiden Brüche ($4$ und $2$) sind unterschiedlich. Ziel ist es nun, die beiden Brüche so umzuformen, dass sie denselben Wert im Nenner haben. Beim Umformen müssen wir aber darauf achten, dass wir den Wert des Bruches nicht ändern. Die zwei wichtigsten Methoden zum Umformen von Brüchen sind das Erweitern und das Kürzen.
Methode
Brüche werden gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert werden.
Brüche werden erweitert, indem Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden.
Erweiterung des Bruchs um den Wert des jeweils anderen Nenners
Eine Methode, die praktisch immer funktioniert, ist die, bei der die Brüche um den Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitert werden.
$\frac{3}{\textcolor{red}{4}} + \frac{1}{\textcolor{blue}{2}}$
Für unser Beispiel würde dies bedeuten, dass wir den Bruch $\frac{3}{4}$ mit dem Wert $\textcolor{blue}{2}$ erweitern und den Bruch $\frac{1}{2}$ mit dem Wert $\textcolor{red}{4}$.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} + \frac{4}{8}$
Sonderfall: die Nenner sind Vielfache voneinander
Sind die Nenner Vielfache voneinander, können wir die Brüche auf einen Nenner bringen, indem wir nur einen der beiden Brüche umformen. In unserem Beispiel ist der Nenner $\textcolor{red}{4}$ ein Vielfaches vom Nenner $\textcolor{blue}{2}$. Es würde also auch genügen, $\frac{1}{2}$ so lange zu erweitern, bis im Nenner eine $4$ steht.
$\frac{3}{\textcolor{red}{4}} + \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} = \frac{3}{4} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$
Der gemeinsame Nenner ist ein anderer als bei der ersten Methode. Beide Rechnungen sind allerdings korrekt.
Brüche addieren
Haben wir beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, können wir mit der eigentlichen Rechnung fortfahren:
$\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3 + 2}{4} = \frac{5}{4}$
Wie du siehst, musst du einfach nur noch die Zahlen im Zähler addieren. Der Nenner bleibt unverändert. Als Ergebnis erhalten wir einen einzigen Bruch.
Merke
Brüche werden addiert, indem die Zähler addiert werden und der Nenner beibehalten wird.
Beispiel
$\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{7}{3}$
$\frac{9}{5} + \frac{6}{5} = \frac{15}{5} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
Brüche subtrahieren
Das Subtrahieren von Brüchen funktioniert genauso wie die Addition. Betrachten wir folgendes Beispiel, bei dem die Brüche schon auf einen gemeinsamen Nenner gebracht worden sind:
$\frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 2}{3} = \frac{7}{3}$
Merke
Brüche werden subtrahiert, indem die Zähler subtrahiert werden und der Nenner beibehalten wird.
Beispiel
$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
$\frac{7}{9} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
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