Bruchrechnung: verschiedene Brucharten
In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Arten von Brüchen. In diesem Lerntext geben wir dir einen Überblick über die verschiedenen Brucharten und ihre Eigenschaften.
Echte Brüche
Die meisten Brüche, auf die du treffen wirst, sind echte Brüche. Ein Bruch gilt als echt, wenn der Zähler kleiner ist als der Nenner. Ist dies der Fall, ergibt der Bruch nur Zahlen zwischen $0$ und $1$.
Merke
Bei echten Brüchen hat der Zähler einen kleineren Wert als der Nenner.
$\frac{Z}{N} \rightarrow Z Besitzt der Zähler den Wert $1$, bezeichnet man den Bruch auch als Stammbruch.
Beispiel
$\frac{1}{2}$
$\frac{5}{9}$
$\frac{7}{15}$
Unechte Brüche
Im Gegensatz zu den echten Brüchen, gilt ein Bruch als unecht, wenn der Zähler größer ist als der Nenner oder gleich. Man könnte auch sagen, dass alle Brüche, die die Bedingungen eines echten Bruchs nicht erfüllen, unechte Brüche sind. Unechte Brüche stehen für Zahlen, die größer als $1$ sind.
Merke
Bei unechten Brüchen hat der Zähler den gleichen oder einen größeren Wert als der Nenner.
$\frac{Z}{N}~,~ Z~\ge~N$
Unechte Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, nennt man auch Scheinbrüche, da sie sich durch Kürzen in ganze Zahlen umwandeln lassen.
Beispiel
$\frac{5}{4}$
$\frac{12}{6}$
$\frac{3}{2}$
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Gemischte Brüche
Gemischte Brüche sind eine Kombination aus ganzer Zahl und Bruch. Gemischte Brüche sind eine alternative Schreibweise für unechte Brüche.
$\frac{7}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}$
Oft wird diese Schreibweise beim Bruchrechnen missverstanden und als Multiplikation gedeutet, obwohl es eigentlich eine Addition ist:
$2 \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{1}{3}~~~~~~~~~~\textcolor{red}{FALSCH}$
$2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}~~~~~~~\textcolor{green}{RICHTIG}$
Merke
Gemischte Brüche bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Alle unechten Brüche lassen sich in gemischte Brüche umwandeln.
Beispiel
$\frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$
$\frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3}$
$\frac{27}{5} = 5 \frac{2}{5}$
Mehrfachbrüche
Brüche, bei denen der Zähler und/oder der Nenner selber auch ein Bruch sind, nennt man Mehrfachbrüche. Um Mehrfachbrüche zu vereinfachen, benötigst du die Rechenregeln zur Division von Brüchen.
Betrachten wir zunächst den Fall, dass nur der Zähler ein Bruch ist. Einen Bruch, bei dem Zähler oder Nenner eine Bruchzahl ist, nennt man auch Doppelbruch.
$\large{\frac{\frac{2}{3}}{4} = \frac{2}{3} : 4 = \frac{2}{3} : \frac{4}{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}}$
Schauen wir uns nun ein Beispiel für einen Bruch mit jeweils einem weiteren Bruch in Zähler und Nenner an.
$\large{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}}$
Merke
Doppel- bzw. Mehrfachbrüche können mithilfe der Rechenregeln zur Division von Brüchen vereinfacht werden:
$\large{\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot c}}$
$\large{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}}$
Dezimalbrüche
Eine letzte Gruppe von Brüchen, die du kennen solltest, sind die sogenannten Dezimalbrüche. Dezimalbrüche zeichnen sich dadurch aus, dass der Nenner eine Potenz von $10$ mit einem natürlichen Exponenten ist. Einfacher gesagt, besitzen Dezimalbrüche einen Nenner mit folgenden Werten: $10, 100, 1000$ usw.
Merke
Dezimalbrüche besitzen eine zu den natürlichen Zahlen gehörige Zehnerpotenz im Nenner ($10, 100, 1000...$) und lassen sich als Dezimalzahlen schreiben.
Beispiel
$\frac{35}{100} = 0,35$
$\frac{12}{1000} = 0,012$
$\frac{7}{10} = 0,7$
Du hast jetzt kennengelernt, auf welche Arten man mit Brüchen rechnen kann. Probiere dein neues Wissen über das Bruchrechnen an unseren Übungen aus. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Teste dein Wissen!
Wie lässt sich dieser unechte Bruch als gemischten Bruch schreiben?
$\frac{22}{3}$
Wie lässt sich dieser Mehrfachbruch vereinfachen?
$\large{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{9}}}$
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