In diesem Kapitel befassen wir uns mit den rationalen Zahlen. Diese bilden eine Erweiterung der ganzen Zahlen und bringen somit nicht nur neue Zahlen, sondern auch weitere Regeln mit sich. Hier wollen wir dir einen Überblick über den Begriff und die Eigenschaften der neuen Zahlenmenge geben.
Definition der rationalen Zahlen
In der Schulmathematik hast du bisher die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen als eine Erweiterung der natürlichen Zahlen kennengelernt. Die rationalen Zahlen sind wieder eine Erweiterung der bisherigen Zahlenmenge. Das Symbol für die rationalen Zahlen ist das $\mathbb{Q}$.
Mit der Erweiterung der Zahlenmenge kommen die Brüche zu den Zahlen hinzu. Eine rationale Zahl wird hierbei als ein Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen definiert. Wir nennen diese Zahlen, welche Nachkommastellen haben oder als Bruch dargestellt werden, auch Bruchzahlen.
Merke
Die rationalen Zahlen sind eine Erweiterung der ganzen Zahlen.
Das Symbol der rationalen Zahlen ist das $\mathbb{Q}$.
Rationale Zahlen sind das Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen.
Man nennt rationale Zahlen in der Schule auch Bruchzahlen.
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Eigenschaften der rationalen Zahlen
Die rationalen Zahlen werden in einem Bruch dargestellt. Hierbei haben wir einen Zähler und einen Nenner. Der Zähler ist die Zahl, die sich oberhalb des Bruchstriches befindet. Der Nenner befindet sich immer unterhalb des Bruchstriches. Beide Zahlen sind ganze Zahlen, haben somit keine Nachkommastelle. Bei Beispiel für eine rationale Zahl ist folgender Bruch:
$\Large{\frac{1}{3}}$
Hierbei kann man die Zahl als Bruch darstelle oder auch als Zahl mit Nachkommastelle. Der obige Bruch wäre als Dezimalzahl dann:
$0,3333\overline{3}$
Hier kann es Zahlen geben, die unendlich viele Stellen nach dem Komma haben. Diese werden dann wie im obigen Beispiel abgekürzt dargestellt mit einem Strich über den sich wiederholenden Zahlen.
Jede rationale Zahl kann also als Bruch oder als Dezimalzahl dargestellt werden. Bei Brüchen kann auch der Zähler größer als der Nenner sein, wie in folgendem Beispiel:
$\Large{\frac{8}{3}}$
Diese Zahl kann auch in einen gemischten Bruch umgewandelt werden. Dabei schaust du, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Diese Zahl schreibst du dann groß vor den Bruch, der Rest, der nicht teilbar ist, wird weiterhin im Zähler mitgeführt.
$\Large{2\frac{2}{3}}$
Merke
Die obere Zahl auf dem Bruchstrich wird Zähler genannt, die untere Nenner.
Zahlen mit sich wiederholenden und unendlich vielen Nachkommastellen werden mit einem Strich über den Zahlen gekennzeichnet.
Gemischte Brüche zeigen den ganzteiligen Anteil und den "Restbruch".
Vertiefung
Zähler und Nenner
Um sich merken zu können, was Zähler und was Nenner ist, kannst du an das Wort Zähne als Eselsbrüche denken. Dabei kommt das "Zäh" zuerst, somit ist das obere der Zähler. Der zweite Teil des Wortes ist das "ne", der Anfang des Begriffs Nenner, was dann unter dem Bruchstrich steht.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Viel Erfolg dabei!
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