Potenzen - Eine Übersicht
Potenzen mit der gleichen Basis
Potenzen mit dem gleichen Exponenten
Potenzen potenzieren
Du suchst zum Thema Potenzgesetzte eine Übersicht? Dann bist du auf dieser Lernseite genau richtig. Hier erfährst du alles über die Potenzgesetze und wie du damit rechnest. Wir erklären dir anhand von Beispielen das Rechnen mit Potenzen mit den gleichen Exponenten oder den gleichen Basen. Du findest hier zu den Potenzgesetzten Aufgaben mit Lösungen, um deine Rechenkünste zu vertiefen. Nach dieser Lernseite und unserem Video bist du Experte im Rechnen mit Potenzen. Los gehts!
Potenzen - Eine Übersicht
Potenzen sind nicht nur eine alternative Schreibweise für eine längere Multiplikation, sondern können auch miteinander multipliziert und dividiert werden. Um mit Potenzen zu rechnen, musst du sie nicht jedes Mal ausschreiben. Allerdings musst du eine kleine Anzahl neuer Rechengesetze beachten, die aber - wie du später merken wirst - nicht wirklich kompliziert sind.
Gut zu wissen
Weißt du schon was die Begriffe Exponenten und Basis sind? Oder bist du dir vielleicht noch unsicher mit den beiden Begriffen? In unserem Lerntext Potenzen - Definition und Beispiele kannst du nochmal alles über wichtige Begriffe zum Thema Potenz nachlesen.
Das Rechnen mit Potenzen funktioniert nicht immer. Voraussetzung ist, dass entweder die Basen oder die Exponenten der Potenzen gleich sind. Sollte dies nicht der Fall sein, kannst du keine Berechnungen durchführen.
Wir stellen dir jetzt die verschiedenen Potenzgesetze vor. Wir haben sie aufgeteilt, indem wir sie entweder der Oberkategorie Potenzen mit der gleichen Basis oder der Oberkategorie Potenzen mit dem gleichen Exponenten zugeordnet haben. Sieh selbst:
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Potenzen mit der gleichen Basis
Zunächst schauen wir uns zwei Gesetze an, die gelten, wenn wir Potenzen mit der gleichen Basis multiplizieren oder dividieren möchten. Also zum Beispiel $\textcolor{black}{3^8 \cdot 3^2}$ oder $\textcolor{black}{\frac{3^2}{3^5}}$.
Merke zur Rechnung mit Potenzen
$(1)$ Potenzen mit gleichen Basen werden $\textcolor{black}{multipliziert}$, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
$\textcolor{black}{ a^m \cdot a^n = a^{m+n}}$
$ \textcolor{black}{2^3 \cdot 2^7 = 2^{10}}$
$(2)$ Potenzen mit gleichen Basen werden $\textcolor{black}{dividiert}$, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
$\textcolor{black}{\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$
$\textcolor{black}{\frac{5^6}{5^2} = 5^{4}}$
Potenzen mit dem gleichen Exponenten
Nun schauen wir uns zwei Gesetze an, die gelten, wenn wir Potenzen mit dem gleichen Exponenten multiplizieren oder dividieren möchten. Also zum Beispiel $\textcolor{black}{3^8 \cdot 2^8}$ oder $\textcolor{black}{\frac{3^7}{4^7}}$.
Merke zu Potenzen mit gleichem Exponenten
$(1)$ Potenzen mit gleichen Exponenten werden $\textcolor{black}{multipliziert}$, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
$\textcolor{black}{a^m\cdot b^m = (a\cdot b)^m}$
$\textcolor{black}{5^3\cdot 6^3 = 30^3}$
$(2)$ Potenzen mit gleichen Exponenten werden $\textcolor{black}{dividiert}$, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
$\textcolor{black}{\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m} $
$\textcolor{black}{\frac{9^8}{3^8} = 3^8 }$
Potenzen potenzieren
Eine Potenz kann auch potenziert werden. Wie du dabei vorgehst, zeigen wir dir jetzt. Beim Potenzieren einer Potenz setzt du eine Potenz hoch einem Exponenten, wie zum Beispiel $\textcolor{black}{(5^2)^3}$
Merke zum potenzieren
Eine Potenz wird $\textcolor{black}{potenziert}$, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
$\textcolor{black}{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}$
$\textcolor{black}{(7^3)^4 = 7^{12}}$
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
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Übungsaufgaben
Wie viele Potenzgesetze zum Rechnen mit Potenzen, deren Exponenten gleich sind, kennst du?
Bei welchem Term kannst du folgendes Potenzgesetz anwenden?
$ a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
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