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Potenzen addieren - so funktioniert's

Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze
Potenzen addieren - so funktioniert's! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
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Inhaltsverzeichnis:

Auf dieser Lernseite beschäftigen wir uns mit der Frage, wie Potenzen einer Summe weiter zusammengefasst werden können.

Gibt es Rechenregeln zur Addition von Potenzen?

Die Summe zweier normaler Potenzen, wie sie im unteren Beispiel angegeben sind, lässt sich nicht weiter vereinfachen. Wir können das Ergebnis berechnen, indem wir die einzelnen Potenzen auflösen und dann addieren.

Beispiel

$2^3 + 4^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) + (4 \cdot 4) = 8 + 16 = 24$

Die Summe der Potenzen kann nicht weiter zusammengefasst werden. Um das Ergebnis zu berechnen, rechnen wir die einzelnen Potenzen aus und addieren dann die Potenzwerte.

Addition von Potenzen

Die Summe von Potenzen lässt sich nur unter folgenden Voraussetzungen zusammenfassen:

  • Die Basen der Potenzen sind gleich.
  • Die Exponenten der Potenzen sind gleich.

Sind diese beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt, kannst du die Summe vereinfachen, indem du die Koeffizienten der Potenzen addierst. Als Koeffizient bezeichnet man die Zahl, die als Faktor vor der Potenz steht.

Merke

Die Summe zweier Potenzen kann zusammengefasst werden, indem die Koeffizienten addiert werden.

$\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{x^n} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{x^n} = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{green}{x^n}$

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Beispiele für die Addition von Potenzen

Beispiel

$4 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^3 = (4 + 7) \cdot 2^3 = 11 \cdot 2^3 = 88$

$5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^3 = (5 + 2) \cdot x^3 = 7 \cdot x^3$

$6 \cdot x^4 + 4 \cdot x^4 = (6 + 4) \cdot x^4 = 10 \cdot x^4$

$3 \cdot x^6 + 5 \cdot x^6 = (3 + 5) \cdot x^6 = 8 \cdot x^6$

Im folgenden Beispiel taucht eine Potenz auf, die auf den ersten Blick keinen Koeffizienten besitzt. Steht vor der Potenz kein Koeffizient, ist der Koeffizient immer die Zahl $1$.

$ x^7 + x^7 = 1\cdot x^7 + 1\cdot x^7 = (1 + 1) \cdot x^7 = 2 \cdot x^7$

$3 \cdot x^3 +  x^3 = 3\cdot x^3 + 1\cdot x^3 = (3 + 1) \cdot x^3 = 4 \cdot x^3$

$2 \cdot x^5 + 4 \cdot x^5 + x^5 = 2 \cdot x^5 + 4 \cdot x^5 + 1 \cdot x^5$

$= (2 + 4 + 1) \cdot x^5 = 7 \cdot x^5$

Wann lassen sich Summen von Potenzen nicht zusammenfassen?

1. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten

$4^\textcolor{red}{5} + 4^\textcolor{red}{6}$

$a^\textcolor{red}{m} + a^\textcolor{red}{n} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MÖGLICH}}$

2. Potenzen mit unterschiedlichen Basen

$\textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{red}{3}^2$

$\textcolor{red}{a}^n + \textcolor{red}{b}^n ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MÖGLICH}}$

3. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und unterschiedlichen Basen

$\textcolor{red}{3}^\textcolor{orange}{4} + \textcolor{red}{9}^\textcolor{orange}{3}$

$\textcolor{red}{a}^\textcolor{orange}{n} + \textcolor{red}{b}^\textcolor{orange}{m} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MÖGLICH}}$

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Unter welchen Voraussetzungen lassen sich Potenzen einer Summe zusammenfassen?

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Wie lässt sich diese Summe zusammenfassen?

$3 \cdot x^5 ~+~ 2 \cdot x^5$

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Wie lässt sich diese Summe zusammenfassen?

$5 \cdot x^3 + 3 \cdot x^3 + 6 \cdot x^5$

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Welche Summe lässt sich nicht weiter zusammenfassen?

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29.06.2025
Wunderbare sehr freundliche Betreuung,unser Sohn geht gerne zum Unterricht und bekommt alles verständlich erklärt.
06.06.2025
Meine Tochter ging 1x pro Woche für Deusch Nachhilfe zum Studienkreis und verbesserte sich in 3 Monaten von Note 5 auf Note 2 :-))
06.06.2025
Mein Sohn hat seine Noten verbessert.Vladimir ist sehr guter Leiter ,er war immer erreichbar und wenn mein Sohn krank war ,er konnte Unterricht nachholen.

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