Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Potenzen multiplizieren, dividieren - gleicher Exponent

Inhaltsverzeichnis:

Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren

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Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

$a^m\cdot b^m = (a\cdot b)^m$

Beispiel

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(1) $3^9\cdot 4^9 = (3\cdot 4)^9 = 12^9$

(2) $2^x\cdot 4^x = (2\cdot 4)^x = 8^x$

(3) $12^5 = (2\cdot 6)^5 = 2^5 \cdot 6^5$

(4) $12^5 = (3\cdot 4)^5 = 3^5 \cdot 4^5$

Herleitung anhand eines Beispiels

Betrachten wir folgende Rechnung:

$2^3\cdot 3^3$

Du weißt ja bereits, wie wir uns am besten eine Regel herleiten können: Wir schreiben die Potenzen aus.

$2^3\cdot 3^3 = (2\cdot 2\cdot 2)\cdot (3\cdot 3\cdot 3) $

Wir haben ja bereits gesehen, dass man bei der Multiplikation die verschiedenen Faktoren beliebig vertauschen darf.

Schreiben wir unsere Rechnung also ein wenig um:

$2^3\cdot 3^3 = (2\cdot 2\cdot 2)\cdot (3\cdot 3\cdot 3) = (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3)$

Auch dieses Ergebnis lässt sich wieder in eine Potenz umwandeln:

$2^3\cdot 3^3 = (2\cdot 2\cdot 2)\cdot (3\cdot 3\cdot 3) = (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3) = (2\cdot 3)^3$

Normalerweise würden wir an dieser Stelle wieder die Exponenten vergleichen. Da in diesem Fall aber alle Exponenten gleich sind, müssen wir unsere Aufmerksamkeit auf die Basis lenken:

$2^3\cdot 3^3 = (2\cdot 3)^3$  Der Exponent bleibt erhalten, während die Basen multipliziert werden.

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Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

$a^m\cdot b^m = (a\cdot b)^m$

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Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren

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Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

$\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m $

Beispiel

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(1) $\frac{6^4}{2^4} = (\frac{6}{2})^4 = 3^4 $

(2) $\frac{(-9)^3}{3^3} = (\frac{(-9)}{3})^3 = (-3)^3= -3^3 $

(3) $ 2^5 = (\frac{6}{3})^5 = \frac{6^5}{3^5}$

(4) $ 2^5 = (\frac{12}{6})^5 = \frac{12^5}{6^5}$

Herleitung anhand eines Beispiels

Nach demselben Prinzip leiten wir uns eine Regel zur Division her:

$\frac{2^3}{3^3} = \frac{2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot3} = (\frac{2}{3})^3 $

Merke

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Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

$\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m $

Du hast jetzt viele verschiedene Möglichkeiten kennengelernt, um mit Potenzen zu rechnen. Behalte die grundsätzlichen Regeln immer im Hinterkopf, da du oft auf Aufgaben stoßen wirst, die sehr kompliziert aussehen:

$ x^{2n+1}\cdot x^{n-3} = x^{(2n+1) + (n-3)} = x^{3n-2}$

Egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht, die Regeln sind immer die gleichen!

Nun hast du eine detaillierte Übersicht darüber bekommen, wie du mit Potenzen mit gleichen Exponenten rechnen kannst. Zur Vertiefung dieses Wissens, teste dich in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Wie lässt sich folgender Term vereinfachen?

$ a^{m + 2} \cdot (a + 1)^{m +2}$

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Die folgende Rechnung lässt sich nicht direkt mit Hilfe eines Potenzgesetzes berechnen.

$5^4 \cdot 2^3$

Welche Umformung erscheint dir sinnvoll, um die Aufgabe dennoch lösen zu können?

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Dein Taschenrechner kann mit riesigen Brüchen nicht rechnen. Wie lässt sich dieser Bruch vereinfachen?

$\frac{55555^{55}}{11111^{55}}$

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