Auf dieser Lernseite beschäftigen wir uns mit der Frage wie Potenzen einer Differenz weiter zusammengefasst werden können.
Gibt es Rechenregeln zur Subtraktion von Potenzen?
Die Differenz zweier normaler Potenzen, wie sie im unteren Beispiel angegeben sind, lässt sich nicht weiter vereinfachen. Wir können das Ergebnis nur berechnen, indem wir die einzelnen Potenzen auflösen und dann voneinander abziehen.
Beispiel
$4^5 - 3^3 = (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) - (3 \cdot 3 \cdot 3) = 1024 - 27 = 997$
Die Differenz der Potenzen kann nicht weiter zusammengefasst werden. Um das Ergebnis zu berechnen, berechnen wir zunächst die Potenzwerte der beiden Potenzen und subtrahieren diese dann voneinander.
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Potenzen subtrahieren
Die Differenz von Potenzen lässt sich nur unter folgenden Voraussetzungen zusammenfassen:
- Die Basen der Potenzen sind gleich.
- Die Exponenten der Potenzen sind gleich.
Sind diese Bedingungen erfüllt, kannst du die Differenz vereinfachen, indem du die Koeffizienten der Potenzen subtrahierst. Als Koeffizient bezeichnet man die Zahl vor der Potenz.
Merke
Die Differenz zweier Potenzen kann zusammengefasst werden, indem die Koeffizienten subtrahiert werden.
$\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{x^n} - \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{x^n} = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{green}{x^n}$
Beispiele für die Subtraktion von Potenzen
Beispiel
$3 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^4 = (3 - 2) \cdot 2^4 = 1 \cdot 2^4 = 2^4 = 16$
$4 \cdot x^4 - 2 \cdot x^4 = (4 - 2) \cdot x^4 = 2 \cdot x^4$
$5 \cdot x^2 - 2\cdot x^2 = (5 - 2) \cdot x^2 = 3 \cdot x^2$
$4 \cdot x^6 - 10 \cdot x^6 = (4 - 10) \cdot x^6 = -6 \cdot x^6$
In folgendem Beispiel taucht eine Potenz auf, die auf den ersten Blick keinen Koeffizienten besitzt. Steht vor der Potenz kein Koeffizient, ist der Koeffizient immer die Zahl $1$.
$8 \cdot x^3 - x^3 = 8 \cdot x^3 - 1\cdot x^3 = (8 - 1) \cdot x^3 = 7 \cdot x^3$
$12 \cdot x^5 - 4 \cdot x^5 - x^5 = 12 \cdot x^5 - 4 \cdot x^5 - 1 \cdot x^5 = (12 - 4 - 1) \cdot x^5 = 7 \cdot x^5$
Wann lassen sich Differenzen von Potenzen nicht zusammenfassen?
1. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten
$3^\textcolor{red}{9} - 3^\textcolor{red}{4}$
$a^\textcolor{red}{m} - a^\textcolor{red}{n} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$
2. Potenzen mit unterschiedlichen Basen
$\textcolor{red}{5}^2 - \textcolor{red}{3}^2$
$\textcolor{red}{a}^n - \textcolor{red}{b}^n ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$
3. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und unterschiedlichen Basen
$\textcolor{red}{12}^\textcolor{orange}{2} - \textcolor{red}{4}^\textcolor{orange}{3}$
$\textcolor{red}{a}^\textcolor{orange}{n} - \textcolor{red}{b}^\textcolor{orange}{m} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$
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Übungsaufgaben
Unter welchen Voraussetzungen lassen sich Potenzen einer Differenz zusammenfassen?
Wie lässt sich diese Differenz zusammenfassen?
$4 \cdot x^2 ~-~ 3 \cdot x^2 ~-~ 5 \cdot x^5$
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