Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Potenzen subtrahieren - so funktioniert's

Inhaltsverzeichnis:

Auf dieser Lernseite beschäftigen wir uns mit der Frage wie Potenzen einer Differenz weiter zusammengefasst werden können.

Gibt es Rechenregeln zur Subtraktion von Potenzen?

Die Differenz zweier normaler Potenzen, wie sie im unteren Beispiel angegeben sind, lässt sich nicht weiter vereinfachen. Wir können das Ergebnis nur berechnen, indem wir die einzelnen Potenzen auflösen und dann voneinander abziehen.

Beispiel

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$4^5 - 3^3 = (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) - (3 \cdot 3 \cdot 3) = 1024 - 27 = 997$

Die Differenz der Potenzen kann nicht weiter zusammengefasst werden. Um das Ergebnis zu berechnen, berechnen wir zunächst die Potenzwerte der beiden Potenzen und subtrahieren diese dann voneinander.

Potenzen subtrahieren

Die Differenz von Potenzen lässt sich nur unter folgenden Voraussetzungen zusammenfassen:

  • Die Basen der Potenzen sind gleich.
  • Die Exponenten der Potenzen sind gleich.

Sind diese Bedingungen erfüllt, kannst du die Differenz vereinfachen, indem du die Koeffizienten der Potenzen subtrahierst. Als Koeffizient bezeichnet man die Zahl vor der Potenz.

Merke

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Die Differenz zweier Potenzen kann zusammengefasst werden, indem die Koeffizienten subtrahiert werden.

$\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{x^n} - \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{x^n} = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{green}{x^n}$

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Beispiele für die Subtraktion von Potenzen

Beispiel

Beispiel

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$3 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^4 = (3 - 2) \cdot 2^4 = 1 \cdot 2^4 = 2^4 = 16$

$4 \cdot x^4 - 2 \cdot x^4 = (4 - 2) \cdot x^4 = 2 \cdot x^4$

$5 \cdot x^2 - 2\cdot x^2 = (5 - 2) \cdot x^2 = 3 \cdot x^2$

$4 \cdot x^6 - 10 \cdot x^6 = (4 - 10) \cdot x^6 = -6 \cdot x^6$

In folgendem Beispiel taucht eine Potenz auf, die auf den ersten Blick keinen Koeffizienten besitzt. Steht vor der Potenz kein Koeffizient, ist der Koeffizient immer die Zahl $1$.

$8 \cdot x^3 -  x^3 = 8 \cdot x^3 - 1\cdot x^3 = (8 - 1) \cdot x^3 = 7 \cdot x^3$

$12 \cdot x^5 - 4 \cdot x^5 - x^5 = 12 \cdot x^5 - 4 \cdot x^5 - 1 \cdot x^5 = (12 - 4 - 1) \cdot x^5 = 7 \cdot x^5$

Wann lassen sich Differenzen von Potenzen nicht zusammenfassen?

1. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten

$3^\textcolor{red}{9} - 3^\textcolor{red}{4}$

$a^\textcolor{red}{m} - a^\textcolor{red}{n} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$

2. Potenzen mit unterschiedlichen Basen

$\textcolor{red}{5}^2 - \textcolor{red}{3}^2$

$\textcolor{red}{a}^n - \textcolor{red}{b}^n ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$

3. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und unterschiedlichen Basen

$\textcolor{red}{12}^\textcolor{orange}{2} - \textcolor{red}{4}^\textcolor{orange}{3}$

$\textcolor{red}{a}^\textcolor{orange}{n} - \textcolor{red}{b}^\textcolor{orange}{m} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$

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Unter welchen Voraussetzungen lassen sich Potenzen einer Differenz zusammenfassen?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
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Wie lässt sich diese Differenz zusammenfassen?

$4 \cdot x^2 ~-~ 3 \cdot x^2 ~-~ 5 \cdot x^5$

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Wie lässt sich diese Differenz zusammenfassen?

$5 \cdot x^3 ~-~ 2 \cdot x^3$

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Welche Differenz lässt sich nicht zusammenfassen?

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Ich finde meinen Lehrer sehr gut aber wenn ich mal was ändern möchte kann ich keinen bei der online Nachhilfe erreichen per Telefon. Auch beim Rückruf dauert es sehr sehr lange bis man zurück gerufen wird. Ich würde mir auch bei Studenten, Langzeit Tarife wünschen die billiger sind weil man hat als Student nicht so viel Geld. Aber insgesamt bin ich ganz zufrieden. Mechanik wäre noch gut als Fach.
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