Potenzen mit negativem Exponenten
Was bedeutet ein negativer Exponent? Um sich diesem Problem zu nähern, betrachten wir noch einmal die Divisionsregel von Potenzen mit gleichen Basen. Warum greifen wir auf diese Regel zurück? Die Divisionsregel zeigt sehr gut, wie negative Exponenten überhaupt zustande kommen:
$\frac{a^5}{a^6} = a^{5-6} = a^{-1}$
Um zu verstehen, was genau die $-1$ als Exponent bedeutet, schauen wir uns noch einmal die ausführliche Rechnung an. Um den Ausdruck zu vereinfachen, kürzen wir, wie bereits gelernt, Zähler und Nenner gegeneinander weg:
$\frac{a^5}{a^6} = \frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} =\frac{1}{a^1} $
Daraus folgt:
$ a^{-1}=\frac{1}{a^1}$
Merke
Merke
Potenzen mit negativen Exponenten können auch als Bruch geschrieben werden: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Beispiele für Potenzen mit negativem Exponenten
Beispiel
Beispiel
(1) $ 3^{-5} = \frac{1}{3^5}$
(2) $ 7^{-9} = \frac{1}{7^9}$
(3) $ 10^{-4} = \frac{1}{10^4}$
(4) $ x^{-5} = \frac{1}{x^5}$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Was passiert, wenn der Exponent null ist?
Wir wissen nun, was positive und negative Exponenten bedeuten. Doch was passiert, wenn der Exponent null ist?
$ a^0$
Auch hier kann uns die Divisionsregel helfen - dieses Mal gehen wir umgekehrt vor: Was bedeutet es, wenn bei der Division zweier Potenzen mit der gleichen Basis als Ergebnis $a^0$ rauskommt?
$ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$
Methode
Methode
Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!
Und schon wieder brauchen wir dein Vorwissen: Wird eine Zahl durch sich selbst geteilt, ist das Ergebnis immer eins.
$ \frac{2}{2} = 1$ ; $\frac{2^5}{2^5} = 1$
Merke
Merke
Potenzen mit dem Exponenten 0 ergeben als Ergebnis (Potenzwert) immer eins. Also: $ a^0 = 1$
Dieses Wissen können wir auch anwenden, um die Definition eines negativen Exponenten nochmals zu veranschaulichen:
$ \frac{1}{2^2} = \frac{2^0}{2^2} = 2^{0-2} = 2^{-2}$
Nun hast du die Sonderfälle von Potenzen mit negativen Exponenten und dem Exponenten Null kennengelernt. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Teste dein Wissen!
Welche Potenz ist richtig ausgerechnet?
Wie wird richtig ausgeklammert?
$2^{-3} \cdot 5^{-2} + 2^{-3} \cdot 3^{-4}$
Bei den folgenden Potenzen fehlen die Exponenten:
a) $\frac{6^4}{6^9}$ = 6
b) $\frac{2^2}{2^2}$ = $2$ =
Markiere die richtige Lösung.
Bei den folgenden Potenzen fehlen die Exponenten:
a) $\frac{1}{5^5}$ = $5
b)$\frac{1}{3^9}$ = $3
Markiere die richtige Lösung.
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema








Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
(kostenlos und jederzeit)