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Potenzen mit negativem Exponenten

Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze
Potenzen mit negativem Exponenten! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
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Inhaltsverzeichnis:

Was bedeutet ein negativer Exponent? Um sich diesem Problem zu nähern, betrachten wir noch einmal die Divisionsregel von Potenzen mit gleichen Basen. Warum greifen wir auf diese Regel zurück? Die Divisionsregel zeigt sehr gut, wie negative Exponenten überhaupt zustande kommen:

$\frac{a^5}{a^6} = a^{5-6} = a^{-1}$

Um zu verstehen, was genau die $-1$ als Exponent bedeutet, schauen wir uns noch einmal die ausführliche Rechnung an. Um den Ausdruck zu vereinfachen, kürzen wir, wie bereits gelernt, Zähler und Nenner gegeneinander weg:

$\frac{a^5}{a^6} = \frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} =\frac{1}{a^1} $

Daraus folgt:

$ a^{-1}=\frac{1}{a^1}$

Merke

Potenzen mit negativen Exponenten können auch als Bruch geschrieben werden: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Beispiele für Potenzen mit negativem Exponenten

Beispiel

(1) $ 3^{-5} = \frac{1}{3^5}$ 

(2) $ 7^{-9} = \frac{1}{7^9}$

(3) $ 10^{-4} = \frac{1}{10^4}$

(4) $ x^{-5} = \frac{1}{x^5}$

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Was passiert, wenn der Exponent null ist?

Wir wissen nun, was positive und negative Exponenten bedeuten. Doch was passiert, wenn der Exponent null ist?

$ a^0$

Auch hier kann uns die Divisionsregel helfen - dieses Mal gehen wir umgekehrt vor: Was bedeutet es, wenn bei der Division zweier Potenzen mit der gleichen Basis als Ergebnis $a^0$ rauskommt?

$ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$

Methode

Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!

Und schon wieder brauchen wir dein Vorwissen: Wird eine Zahl durch sich selbst geteilt, ist das Ergebnis immer eins.

$ \frac{2}{2} = 1$  ;  $\frac{2^5}{2^5} = 1$

Merke

Potenzen mit dem Exponenten 0 ergeben als Ergebnis (Potenzwert) immer eins. Also: $ a^0 = 1$

Dieses Wissen können wir auch anwenden, um die Definition eines negativen Exponenten nochmals zu veranschaulichen:

$  \frac{1}{2^2} = \frac{2^0}{2^2} = 2^{0-2} = 2^{-2}$

Nun hast du die Sonderfälle von Potenzen mit negativen Exponenten und dem Exponenten Null kennengelernt. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

autoren-mathematik

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Welche Potenz ist richtig ausgerechnet?

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Wie wird richtig ausgeklammert?

$2^{-3} \cdot 5^{-2} + 2^{-3} \cdot 3^{-4}$

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Bei den folgenden Potenzen fehlen die Exponenten:
a) $\frac{6^4}{6^9}$ = 6
b) $\frac{2^2}{2^2}$ = $2$ =
Markiere die richtige Lösung.

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Bei den folgenden Potenzen fehlen die Exponenten:
a) $\frac{1}{5^5}$ = $5
b)$\frac{1}{3^9}$ = $3
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29.06.2025
Wunderbare sehr freundliche Betreuung,unser Sohn geht gerne zum Unterricht und bekommt alles verständlich erklärt.
06.06.2025
Meine Tochter ging 1x pro Woche für Deusch Nachhilfe zum Studienkreis und verbesserte sich in 3 Monaten von Note 5 auf Note 2 :-))
06.06.2025
Mein Sohn hat seine Noten verbessert.Vladimir ist sehr guter Leiter ,er war immer erreichbar und wenn mein Sohn krank war ,er konnte Unterricht nachholen.

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