Quader: Fläche und Volumen berechnen

Quader - Die Flächen

Der Quader ist die erste Figur, die du in der Schulzeit kennen lernst, die nicht nur in zwei, sondern in drei Dimensionen dargestellt wird. Um einen Quader also zu zeichnen, benötigst du eine dritte Ebene, dein gewöhnliches Koordinatensystem reicht da nicht aus. Doch schauen wir uns erst einmal einen Quader an und bestimmen die Bezeichnungen, um es danach in einem Koordinatensystem einzeichnen zu können.

Schrägbild eines Quaders, die gestrichelten Linien befinden sich im Hintergrund

Jeder Quader besteht aus 8 Punkten, die verbunden werden. Der Quader hat verschiedene Seitenflächen, die auch verschiedene Namen bekommen. Die Seitenfläche zwischen den Punkten ABCD ist die Vorderseite. In der nächsten Abbildung sind alle wichtigen Begrifflichkeiten eingezeichnet:

Schrägbild des Quaders mit Bezeichnungen

In der Abbildung sind die Begriffe für die sechs Seiten des Quaders eingezeichnet. Die Begriffe, die kursiv geschrieben sind, bezeichnen Seitenflächen, die sich im Hintergrund befinden. Klären wir einmal die Begrifflichkeiten:

Doch reichen die Bezeichnungen der Seitenflächen nicht aus, um mit Formeln rechnen zu können. Hierfür benötigen wir wichtige Seitenbezeichnungen, beispielsweise die Höhe. Diese Begrifflichkeiten sehen wir in der nächsten Abbildung:

Schrägbild des Quaders mit den wichtigen drei Seitenbezeichnungen.

Jeder Quader besteht aus Seiten, die in drei verschiedene Richtungen zeigen, der Höhe, die senkrecht verläuft, wie die y-Achse in einem Koordinatensystem, die Länge, die der x-Achse in einem Koordinatensystem ähnelt und die dritte Seite, die Breite.

In der Abbildung haben wir jede Länge $\textcolor{green}{grün}$, jede Höhe $\textcolor{blue}{blau}$ und jede Breite $\textcolor{red}{rot}$ eingezeichnet.

Oberfläche und Volumen beim Quader berechnen

Jetzt haben wir alle wichtigen Seitenflächen und Seitenbezeichnungen kennen gelernt und können Formeln verwenden. Bekannt sollten dir von Rechtecken noch der Flächeninhalt und der Umfang sein. Diese Formeln können wir auch beim Quader gebrauchen, jedoch im dreidimensionalen Raum, somit mit anderen Bezeichnungen. Schauen wir uns nun an, wie wir die Oberfläche und das Volumen eines Quaders berechnen:

Um also die Oberfläche eines Quaders auszurechnen, benötigen wir folgende Formel:

$Oberfläche\;=\; Fläche1\;+ \;Fläche2\; +\; Fläche3\; +\; Fläche4\; +\; Fläche5 \;+\; Fläche6$

Vereinfacht ergibt sich: $Oberfläche\;=\;2 \cdot \;Fläche1+ \;2 \cdot \;Fläche2 \;+\;2 \cdot \;Fläche3$

Die Seitenflächen gruppieren sich hierbei in gegenüberliegende Seitenflächen, also gehören die vordere Seite und die hintere Seite zusammen. Genauso gruppieren sich linke und rechte Seitenfläche, als auch Deckfläche und Grundfläche.

Das Volumen entspricht dem Flächeninhalt bei zweidimensionalen Figuren und wird auch genauso gebildet. Möchtest du nun das Volumen eines Quaders berechnen, multiplizierst du die drei Seiten miteinander:

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wird dir viel Spaß und Erfolg!