Zinsrechnung: Formeln und Übungen
Die Zinsrechnung ist eine spezielle Anwendung der Prozentrechnung. Wie der Name schon vermuten lässt, geht es bei der Zinsrechnung primär um die Frage, wie viel Zinsen man erhält, wenn man Geld bei der Bank anlegt. Wichtige Größen der Zinsrechnung sind das Kapital, der Zinssatz sowie die Zinsperiode (das ist der Zeitraum, der betrachtet wird). Dabei unterscheidet man den Jahreszins, den Monatszins und den Tageszins.
In deinem Mathematikunterricht begegnet dir die Zinsrechnung jedoch auch schon. Auch wenn du vielleicht noch nicht so viel Erfahrung mit Geldanlagen bei der Bank hast.
4 Fakten über Zinsrechnung - Alles auf einen Blick
Im Folgenden geben wir dir vorab schonmal einen groben Überblick über das, was du über Zinsrechnung wissen musst:
Methode
- Du berechnest, wie viele Zinsen man erhält, wenn man Geld bei der Bank anlegt.
- Du kannst den Jahreszins, Monatszins und den Tageszins mit allgemeinen Formeln berechnen.
Jahreszins: $\large{Z = \frac{K~ \cdot~ p}{100}}$
Monatszins: $\large{Z = \frac{K~ \cdot ~p~ \cdot ~m~}{1.200}}$
Tageszins: $\large{Z = \frac{K~ \cdot ~p~ \cdot ~t}{36.000}}$
3. $Z$ steht für die anfallenden Zinsen; $K$ steht für das Kapital; $p$ steht für den Zinssatz; $t$ steht für die Zinsperiode (Jahre, Monate oder Tage).
4. Du kannst die Formeln umformen, je nachdem, was du berechnen möchtest.
Wir erklären dir nachfolgend, wie die Formeln für die Zinsrechnung entstehen und wie du diese umformst. Zusätzlich gehen wir mit dir Übungen durch, damit du fit im Zinsrechnen wirst.
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Jahreszins berechnen
Die Formel, mit der du Jahreszinsen berechnen kannst, sieht folgendermaßen aus:
Merke
Jahreszins
$\large{Z = \frac{K~ \cdot~ p\cdot~ t}{100}}$
$t$ steht für die Jahre und kann in der Formel weggelassen werde, wenn du den Jahreszins von einem Jahr berechnest, es gilt also:
$\large{Z = \frac{K~ \cdot~ p}{100}}$
Dabei steht $Z$ für die anfallenden Zinsen, $p$ für den Zinssatz und $K$ für das eingesetzte Kapital. Wenn du in die Formel einsetzt, musst du beachten, dass du für $p$ nur die Zahl, ohne das Prozentzeichen, einsetzt. Also, wenn ein Kapital mit $3 \%$ verzinst wird, schreibst du in die Formel nur $3$.
1. Übung: Jahreszins berechnen
Beispiel
Auf einem Sparbuch werden $1.500~€$ für ein Jahr mit $4 \%$ verzinst. Wie viele Zinsen erhält der Inhaber des Sparbuchs nach einem Jahr?
$\large{Z = \frac{1.500~€ ~ \cdot ~ 4}{100} = 60~€}$
Der Inhaber erhält $60~€$ Zinsen nach einem Jahr.
Umstellung der Jahreszinsformel
Es gibt noch weitere Fragen, die man bei der Zinsrechnung beantworten muss: Beispielsweise wie hoch der Jahreszinssatz gewesen ist oder wie hoch der Betrag des eingesetzten Kapitals war. Dafür genügt es, die Formel für den Jahreszins umzustellen.
Formel zum Jahreszinssatz berechnen
$\large{p = \frac{Z~\cdot ~100}{K}}$
Jahreszins: Kapital berechnen
$\large{K = \frac{Z~ \cdot ~100}{p\cdot ~t}}$
2. Übung: Kapital berechnen
Beispiel
Lilly will herausfinden, welcher Kapitalbetrag 5 Jahre lang zu 4% verzinst werden muss, um $2.000€~€$ an Zinsen zu erhalten.
$\large{K = \frac{Z~ \cdot ~100}{p\cdot ~t}}$
$\large{K = \frac{2.000~ \cdot ~100}{4\cdot ~5}}$
$\large{K = \frac{200.000}{20}}$
$\large{K = 10.000}$
Lilly müsste demnach 10.000€ für 5 Jahre zu 4% verzinsen, um $2.000~€$ an Zinsen zu erhalten.
Monatszins berechnen
Es kann auch vorkommen, dass Geld nur für einige Monate angelegt wird. Um die Zinsen zu berechnen, die nach einer bestimmten Anzahl an Monaten anfallen, muss die Jahreszinsformel ein wenig erweitert werden.
Merke
Monatszins
$\large{Z = \frac{K~ \cdot ~p~ \cdot ~m}{100~ \cdot ~12} = \frac{K~ \cdot ~p~ \cdot ~m~}{1.200}}$
Wie beim Jahreszins steht $Z$ für die anfallenden Zinsen, $K$ für das eingesetzte Kapital und $p$ für den Zinssatz ohne Prozentzeichen. Das $m$ steht für die Anzahl der Monate.
1. Übung: Monatszins berechnen
Beispiel
Ein Sparbuch mit $2.300~€$ wird über 10 Monate mit $0,5 \%$ verzinst. Wie viel Zinsen erhält der Inhaber des Sparbuchs?
$\large{Z = \frac{2.300 €~ \cdot ~0,5~ \cdot ~10~}{1.200} \approx 9,58~€}$
Der Inhaber des Sparbuchs erhält 9,58 € Zinsen.
Auch für den Monatszins kannst du die Formel nach allen Größen umstellen.
Monatszinssatz berechnen
$\large{p = \frac{Z~ \cdot ~1.200}{K~ \cdot ~m}}$
Monatszins: Kapital berechnen
$\large{K =\frac{Z~ \cdot ~1.200}{p~ \cdot ~m}}$
Monatszins: Zeitraum berechnen
$\large{m = \frac{Z~ \cdot ~1.200}{K~ \cdot ~p}}$
2. Übung: Zeitraum berechnen
Beispiel
Lennart hat gehört, dass sein Vater $3.200~€$ für einen Zinssatz von 2% angelegt hat und daraus $21,33~€$ Zinsen erhalten hat. Wie viele Monate hat sein Vater die $3.200~€$ angelegt?
$\large{m = \frac{Z~ \cdot ~1.200}{K~ \cdot ~p}}$
$\large{m = \frac{21,33~ \cdot ~1.200}{3.200~ \cdot ~2}}$
$\large{m = \frac{25.596}{6.400}}$
$\large{m = 3,999375 \approx 4 }$
Lennarts Vater hat die $3.200~€$ für circa 4 Monate zu einem Zinssatz von 2% angelegt und $21,33~€$ Zinsen erhalten.
Tageszins berechnen
Um herauszufinden, wie viele Zinsen für einen Zeitraum von einer bestimmten Anzahl an Tagen anfallen, kannst du folgende Formel nutzen:
Merke
Tageszins
$\large{Z = \frac{K~ \cdot ~p~ \cdot ~t}{100~ \cdot ~360}= \frac{K~ \cdot ~p~ \cdot ~t}{36.000}}$
Wie beim Jahres- und Monatszins steht $Z$ für die anfallenden Zinsen, $p$ für den Zinssatz und $K$ für das Kapital. Das $t$ steht für die Anzahl der Tage.
1. Übung: Tageszins berechnen
Beispiel
Ein Sparbuch mit $10.500~€$ wird über 60 Tage mit $1,5 \%$ verzinst. Wie viel Zinsen erhält der Inhaber des Sparbuchs?
$\large{Z = \frac{10.500~€~ \cdot ~1,5~ \cdot ~60}{100~ \cdot ~360} = 26,25~€}$
Der Inhaber des Sparbuchs erhält 26,25 € Zinsen.
Wie bei den anderen Zinsarten, kannst du auch den Tageszins nach Zinssatz, Kapital und Zeitraum umstellen.
Tageszinssatz berechnen
$\large{p = \frac{Z~ \cdot ~36.000}{K~ \cdot ~t}}$
Tageszins: Kapital berechnen
$\large{K = \frac{Z~ \cdot ~36.000}{p~ \cdot ~t}}$
Tageszins: Zeitraum berechnen
$\large{t = \frac{Z~ \cdot ~36.000}{K~ \cdot ~p}}$
2. Übung: Kapital berechnen
Beispiel
Luisa hat $40~€$ Zinsen erhalten, nachdem sie ihr Kapital für 36 Tage zu einem Zinssatz von 5% angelegt hat. Berechne, wie hoch ihr Kapitalbetrag war!
$\large{K = \frac{Z~ \cdot ~36.000}{p~ \cdot ~t}}$
$\large{K = \frac{40~ \cdot ~36.000}{5~ \cdot ~36}}$
$\large{K = \frac{1.440.000}{180}}$
$\large{K = 8.000}$
Luisa hat 8.000 € Kapital zu einem Zinssatz von 5% für 36 Tage angelegt, um $40~€$ Zinsen zu erhalten.
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Der Inhaber eines Sparbuchs mit $3.000~€$ erhält nach einem Jahr $150~€~$ Zinsen. Wir hoch ist der Jahreszins?
Ein Sparbuch mit $4.000~€~$ wird über $3$ Monate mit $3,5\%~$ verzinst. Wieviel Zinsen erhält der Inhaber nach diesen $3$ Monaten?
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