Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Zahlenlehre und Rechengesetze Prozent- und Zinsrechnung Prozentuale Veränderung, Prozentfaktor und -satz

Prozentuale Veränderung, Prozentfaktor und -satz

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In diesem Text beschäftigen wir uns mit dem Prozentfaktor und dem Prozentsatz. Beide Begriffe beschäftigen sich mit der Prozentrechnung, um genauer zu sein, mit der prozentualen Zu- bzw. Abnahme.

Die prozentuale Änderung

Die prozentuale Änderung beschreibt die Veränderung einer bestimmten Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Wie der Name schon verrät, wird sie in Prozent ausgedrückt.

Beispiel

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Peter hat in den letzten Wochen ein wenig zugenommen. Er wog $70~kg$ und wiegt nun $8 \%$ mehr.

$70kg + (8 \% \cdot 70kg) = 70kg + 5,6 kg = 75,6 kg$

Linda hat in demselben Zeitraum von ihren $65~kg$ Körpergewicht $6 \%$ verloren.

$65kg - (6 \% \cdot 65kg) = 65kg - 3,9 kg = 61,1 kg$

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Prozentuale Änderung

$Anfangswert \pm prozentuale~Veränderung = Endwert$

Was ist der Prozentfaktor?

Als Alternative zu der prozentualen Änderung kannst du auch mit dem sogenannten Prozentfaktor rechnen, um Ab- oder Zunahmen einer Größe zu beschreiben

Dies geschieht, indem wir die Gleichung der prozentualen Veränderung ein wenig umformen. Betrachten wir noch einmal unsere Beispiele, der Prozentfaktor ist jeweils $\textcolor{red}{rot}$ markiert.

Beispiel

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$70kg + (8 \% \cdot 70kg) = 70kg \cdot \textcolor{red}{(100 \% + 8 \%)} = 70kg \cdot \textcolor{red}{108 \%}$

$65kg - (6 \% \cdot 65kg) = 65kg \cdot \textcolor{red}{(100 \% - 6\%)} = 65kg \cdot \textcolor{red}{94 \%}$

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Rechnen mit dem Prozentfaktor

$Anfangswert \cdot Prozentfaktor~=~Endwert$

Um mit dem Prozentfaktor rechnen zu können, musst du die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umwandeln:

  • Prozentschreibweise: $100 \% \pm p \%$
  • Dezimalschreibweise: $1 \pm \frac{p}{100}$

Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:

  • Es handelt sich um eine prozentuale Zunahme, wenn der Prozentfaktor $q$ größer als $1$ ist.
  • Es handelt sich um eine prozentuale Abnahme, wenn der Prozentfaktor $q$ kleiner als $1$ ist.

Der Unterschied zwischen Prozentsatz und Prozentfaktor

Der Begriff Prozentfaktor, wie du ihn gerade kennengelernt hast, wird oft mit dem Begriff Prozentsatz verwechselt.

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Der Prozentsatz $p \%$ gibt an, um wie viel Prozent sich der Anfangswert ändert.

Der Prozentfaktor $q$ gibt an, auf wie viel Prozent sich der Anfangswert geändert hat.

Beispiel

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Preiserhöhung von 80€ auf 90€.

Prozentsatz: Erhöhung um $12,5 \%$

Prozentfaktor: Erhöhung auf $112,5 \%$ = 1,125

Prozentfaktor aus Prozentsatz berechnen

Ist der Prozentsatz $p\%$ gegeben können wir den Wert in den Prozentfaktor $q$ umrechnen:

  • Zunahme: $q = 1 + \frac{p}{100}$
  • Abnahme: $q = 1 - \frac{p}{100}$

Beispiel

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Erhöhung um $40\% \rightarrow  q = 1 + \frac{40}{100} = 1,4$

Senkung um $22\% \rightarrow  q = 1 - \frac{22}{100} = 0,78$

Prozentsatz aus Prozentfaktor berechnen

Andersherum kann auch der Prozentfaktor $q$ gegeben sein und wir möchten daraus den Prozentsatz $p\%$ berechnen.

  • Zunahme ($q > 1$): $~p\% = q - 1$
  • Abnahme ($q < 1$): $~p\% = 1 - q$

Beispiel

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Erhöhung auf $186\% \rightarrow p\% = 1,86 - 1 =86\% $

Senkung auf $55\% \rightarrow p\% = 1 - 0,55 = 45\%$

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