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Zinseszins: Formel und Erklärung

Zinseszins - Formel & Erklärung! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

Der Zinseszins hängt, wie der Name bereits vermuten lässt, eng mit der Zinsrechnung zusammen. Die normale Zinsrechnung beschäftigt sich mit anfallenden Zinsen nach einem Jahr, nach einigen Monaten oder nach einigen Tagen. Möchtest du dich zu diesem Thema vielleicht noch einmal informieren oder dein Wissen dazu auffrischen, dann lies dir doch den Lerntext zum Thema Zinsrechnung durch.

Wenn man nun aber sein Geld länger als ein Jahr auf dem Sparbuch lässt, werden nach einem Jahr die anfallenden Zinsen gutgeschrieben, das heißt, die Zinsen kommen zu dem Betrag auf dem Sparbuch hinzu. Der Betrag auf dem Sparbuch wächst also von Jahr zu Jahr und somit auch die Zinsen, da der Zinssatz gleich bleibt.

Im folgenden Lerntext stellen wir dir die Formel, um den Zinseszins zu berechnen, vor. Wir zeigen dir außerdem, wie du die Zinseszinsformel umstellen kannst. Mit Beispielaufgaben veranschaulichen und üben wir das Thema "Zinseszins berechnen" dann noch einmal mit dir.

Beispiel

Wird ein Kapital von $2.500~€$ für ein Jahr mit $5\%$ auf dem Sparbuch verzinst, erhält der Inhaber am Ende des Jahres Zinsen in Höhe von $125~€$. Sein Kapital wächst also auf $2.625~€$ an. Am Ende des zweiten Jahres erhält der Inhaber wieder $5\%$ auf sein Sparbuch, also Zinsen in Höhe von $131,25~€$. Der Inhaber des Sparbuches erhält am Ende des zweiten Jahres mehr Zinsen, da im zweiten Jahr mehr Geld auf dem Sparbuch lag.

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Zinseszins berechnen - Zinseszinsformel

Ähnlich wie bei der normalen Zinsrechnung, gibt es auch eine allgemeine Formel für die Zinseszinsrechnung:

$K_{VERZINST} = K_{ANFANG} \cdot (1~+~\frac{p}{100})^n$

Dabei steht

  • $K_{VERZINST}$ für das Endkapital nach der Verzinsung,
  • $K_{ANFANG}$ für das anfängliche Kapital (ohne Verzinsung),
  • $p$ steht für den Prozentsatz der Zinsen (ohne das $\%$-Zeichen) und
  • $n$ für die Anzahl der Jahre.

Merke

Formel für den Zinseszins

$K_{VERZINST} = K_{ANFANG} \cdot (1~+~\frac{p}{100})^n$

Beispiel

Ein Sparbuch mit einem Kapital von $3.000~€$ wird für fünf Jahre mit dem Zinssatz $3\%$ verzinst. Wie viel Kapital hat der Inhaber nach Ablauf der fünf Jahre auf dem Sparbuch?

$K_{VERZINST} = K_{ANFANG} \cdot (1~+~\frac{p}{100})^n$

$K_{VERZINST} = 3.000~€ \cdot (1~+~\frac{3}{100})^5$

$K_{VERZINST} = 3.000~€ \cdot (1,03)^5$

$K_{VERZINST} = 3.000~€ \cdot 1,1592...$

$K_{VERZINST} \approx 3.477,82~€$

Anfangskapital berechnen

Oft musst du auch das Anfangskapital berechnen. Die Formel des Zinseszinses lässt sich nach dem Anfangskapital umstellen:

$\large{K_{ANFANG} = \frac{K_{VERZINST}}{(1+\frac{p}{100})^n}}$

Beispiel

Wie viel Geld muss man anlegen, um nach sieben Jahren ein Kapital von $10.000~€$ zu haben, wenn der Zinssatz bei $2,5\%$ liegt?

$\large{K_{ANFANG} = \frac{K_{VERZINST}}{(1+\frac{p}{100})^n}}$

$\large{K_{ANFANG} = \frac{10.000}{(1+\frac{2,5}{100})^7}}$

$\large{K_{ANFANG} \approx 8.412,65~€}$

Dauer und Zinssatz berechnen

Ebenso können wir die Formel des Zinseszinses nach dem Zinssatz $p$ und der Dauer $n$ umstellen. Die beiden Ausdrücke sind deutlich komplizierter als die normale Zinseszinsformel.

Zinssatz berechnen

Um zu berechnen, zu welchem Zinssatz $p$ das Anfangskapital verzinst wurde, gilt diese Formel:

$\large{p = 100 \cdot (\sqrt[n]{\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}}}~-~1)}$

Beispiel

Mit welchem Zinssatz erhält man auf einem Sparbuch über $1.200~€$ nach drei Jahren so viele Zinsen, dass man auf ein Kapital von $1.750~€$ kommt? 

$\large{p = 100 \cdot (\sqrt[n]{\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}}}~-~1)}$

$\large{p = 100 \cdot (\sqrt[3]{\frac{1.750}{1.200}}~-~1)}$

$\large{p \approx 13,402}$

Dauer berechnen

Jedoch kannst du genauso berechnen, wie lange das Anfangskapital verzinst wurde. Es wird also nach $n$ gesucht:

$\large{n = \frac{\lg_{}{(\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}})}}{\lg_{}{(1+\frac{p}{100})}}}$

Beispiel

Wie lange muss man ein Sparbuch in Höhe von $20.000~€$ anlegen, um bei einem Zinssatz von $p=0,8\%$ ein verzinstes Kapital von $21.500~€$ zu erhalten?

$\large{n = \frac{\lg_{}{(\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}})}}{\lg_{}{(1+\frac{p}{100})}}}$

$\large{n = \frac{\lg_{}{(\frac{21.500}{20.000})}}{\lg_{}{(1+\frac{0,8}{100})}}}$

$\large{n \approx 9,07}$

Das Sparbuch muss etwas länger als $9$ Jahre angelegt werden.

Trainiere die Vorgehensweisen zur Zinseszinsberechnung mit Hilfe der Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!

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Wie viel Geld muss man anlegen, um bei einem Zinssatz von $3\%~$  nach vier Jahren ein Guthaben von $8.000~€~$ zu erhalten?

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Wie hoch muss der Zinssatz gewesen sein, wenn ein Guthaben von $800~€~$
nach vier Jahren mit Verzinsung auf $980~€~$ gestiegen ist?

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Nach welcher Zeit hat sich ein Guthaben von $1.000~€$ auf dem Sparbuch verdoppelt, wenn der (Jahres-)Zinssatz $5\%$ beträgt?

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