Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz einfach erklärt
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit drei sehr wichtigen Begriffen aus der Prozentrechnung: dem Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz. Prozente stehen für den Anteil eines Ganzen. Um mit Prozenten rechnen zu können, musst du einige neue Begriffe und auch Formeln lernen.
Der Grundwert $G$
Der Grundwert $G$ bezeichnet die Zahl, deren Anteil gesucht wird. Wenn Prozente den Anteil eines Ganzen angeben, dann ist der Grundwert sozusagen das Ganze.
Beispiel
$70 \%$ der Schüler der Klasse 8a sind weiblich. $\rightarrow$ Der Grundwert ist die Anzahl aller Schüler der Klasse 8a.
Der Prozentwert $W$
Der Prozentwert $W$ bezeichnet die Zahl, die den Anteil angibt.
Beispiel
$70 \%$ der Schüler der Klasse 8a sind weiblich. $\rightarrow$ Der Prozentwert ist die Anzahl der weiblichen Schüler, also der gesuchte Anteil.
Die Prozentzahl $p$ und der Prozentsatz $p \%$
Die Prozentzahl ist nichts anderes als die Prozentangabe ohne das Prozentzeichen. Die Prozentzahl geteilt durch $100$ ist das Ergebnis der Division des Prozentwerts $W$ durch den Grundwert $G$. Dies ist die wichtigste Formel der Prozentrechnung, da sie alle Größen in ein Verhältnis setzt. Durch geschicktes Umstellen kannst du mithilfe dieser Formel also jeweils den Grundwert, den Prozentwert oder die Prozentzahl ausrechnen. Dazu müssen immer zwei der drei Werte gegeben sein.
Merke
Die wichtigste Formel der Prozentrechnung:
$\frac{Prozentwert~W}{Grundwert~G} = \frac{Prozentzahl~p}{100}$
Beispiel
$21$ Schüler der Klasse 8a sind weiblich. Die Klasse besteht insgesamt aus $30$ Schülern und Schülerinnen.
$\rightarrow$ Grundwert $G = 30$
$\rightarrow$ Prozentwert $W = 21$
$\frac{W}{G} = \frac{21}{30} = 0,7 = \frac{p}{100}$
$\frac{p}{100} \cdot 100 \% = 70 \% = p \%$
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Prozentrechnung
Prozentwert berechnen
Möchten wir wissen, wie groß der Anteil ist, den eine Prozentangabe ausdrückt, müssen wir den Prozentwert $W$ berechnen.
Merke
$Prozentwert~W =\frac{Prozentzahl~p \cdot Grundwert~G}{100}$
$W =\frac{p \cdot G}{100} $
Beispiel
Eine Schulklasse besteht aus $30$ Schülern und Schülerinnen. $40 \%$ der Schüler sind weiblich. Wie viele Mädchen sind in der Klasse?
$Prozentwert~W = 40 \% \cdot 30 = \frac{40}{100} \cdot 30 = 12$
In der Klasse sind 12 Mädchen.
Prozentzahl und -satz berechnen
Möchten wir wissen, wie viel Prozent ein gewisser Anteil entspricht, müssen wir den Prozentsatz ausrechnen.
Merke
$Prozentzahl~p = \frac{Prozentwert~W}{Grundwert~G} \cdot 100$
$p = \frac{W \cdot 100}{G}$
Beispiel
$24$ von $30$ Schülern sind männlich. Wie viel Prozent entspricht dieser Anteil?
$p = \frac{24}{30} \cdot 100 = 80 $
$80 \%$ der Klasse sind männlich.
Grundwert berechnen
Haben wir in einer Aufgabe den Anteil gegeben sowie die Information, wie viel Prozent dieser Anteil entspricht, können wir den Grundwert berechnen.
Merke
$Grundwert~G= Prozentwert~W \cdot \frac{100}{Prozentzahl~p}$
$G= \frac{W \cdot 100}{p}$
Beispiel
$18$ Schüler einer Klasse sind männlich. Dieser Anteil entspricht $60 \%$ der ganzen Klasse. Wie viele Schüler befinden sich insgesamt in der Klasse?
$G = 18 \cdot \frac{100}{60} = 30$
In der Klasse befinden sich insgesamt $30$ Schüler und Schülerinnen.
Übersicht: Prozentrechnung
Merke
- $\frac{Prozentwert~W}{Grundwert~G} = \frac{Prozentzahl~p}{100}$
- $W =\frac{p \cdot G}{100} $
- $p = \frac{W \cdot 100}{G}$
- $G= \frac{W \cdot 100}{p}$
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