Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen berechnen

Inhaltsverzeichnis:

Beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten kann man schnell den Überblick verlieren. Mithilfe eines Baumdiagramms kannst du die Wahrscheinlichkeiten von Wahrscheinlichkeitsversuchen ordnen und somit einfacher berechnen. Ein Baumdiagramm gibt die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bzw. Ausgänge eines Wahrscheinlichkeitsexperiments an. Der große Vorteil solcher Baumdiagramme ist, dass du auch mehrstufige Experimente übersichtlich darstellen kannst.

Einfache Baumdiagramme

Ein gutes Beispiel für ein einfaches Baumdiagramm lässt sich leicht mithilfe des Münzwurf-Versuchs darstellen. Jedes mögliche Ereignis dieses Zufallsversuchs besitzt eine Wahrscheinlichkeit von $50 \%$.

Baumdiagramm zum Münzwurf
Baumdiagramm zum Münzwurf

Die sogenannten Äste des Baumdiagramms führen zu den beiden Möglichkeiten Kopf oder Zahl. Auf diesen Ästen steht jeweils die Wahrscheinlichkeit in der Dezimalschreibweise - in diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit bei beiden möglichen Ergebnissen $0,5$.

Nachdem du die Münze einmal geworfen hast, besteht beim zweiten Wurf für jedes Ergebnis, also Kopf oder Zahl, jeweils wieder eine 50%ige Wahrscheinlichkeit. Man schreibt diese zwei neuen Möglichkeiten einfach an jedes Ereignis, dass sich aus dem ersten Wurf ergeben hat, heran.

Merke

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Mithilfe eines Baumdiagramms kannst du die Wahrscheinlichkeiten bei ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten übersichtlich darstellen.

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Größere Baumdiagramme erstellen

Ergeben sich bei einem Wahrscheinlichkeitsversuch mehr als zwei Möglichkeiten, die dann auch noch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen, müssen wir ein größeres Baumdiagramm zeichnen, als es noch beim Münzwurf der Fall war.

Betrachten wir ein Beispiel:

Beispiel

Beispiel

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Folgendes Glücksrad wird zweimal hintereinander gedreht. Erstelle ein entsprechendes Baumdiagramm, um die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen zu können.

Glücksrad
Glücksrad

Das entsprechende Baumdiagramm zu dieser Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

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Baumdiagramm: Zweimaliges Drehen des Glücksrads

Wahrscheinlichkeiten berechnen

In der Abbildung erkennst du außerdem, wie die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationsmöglichkeiten berechnet werden. Dazu musst du einfach die Wahrscheinlichkeiten auf den entsprechenden Pfaden multiplizieren. Dies nennt man auch die Produktregel.

Merke

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Produktregel

Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.

Beispiel

Beispiel

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Wir möchten die Wahrscheinlichkeit für die Möglichkeit berechnen, beim ersten Drehen auf einem grünen und beim zweiten Drehen auf einem blauen Feld zu landen. Dazu schauen wir uns den entsprechenden Pfad an:

Einzelner Pfad eines Baumdiagramms.
Einzelner Pfad eines Baumdiagramms.

Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "grünes Feld, blaues Feld" zu errechnen, musst du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

$P (\textcolor{green}{G} \textcolor{blue}{B}) = P(\textcolor{green}{G}) \cdot P(\textcolor{blue}{B})$

$P (\textcolor{green}{G} \textcolor{blue}{B}) = \textcolor{green}{0,5} \cdot \textcolor{blue}{0,2} = 0,1 = 10 \%$

Neben der Produktregel musst du ein weiteres Rechengesetz zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen kennen: die Summenregel.

Merke

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Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit einer Ereignismenge von zwei oder mehreren Ereignissen errechnet sich, indem die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse addiert werden.

Beispiel

Beispiel

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Möchten wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mindestens einmal die rote Kugel gezogen wird, müssen wir alle Einzelwahrscheinlichkeiten der Kombinationen, in denen das rote Feld vorkommt, addieren.

$P (E) = P(\textcolor{green}{G} \textcolor{red}{R}) + P (\textcolor{red}{R} \textcolor{green}{G}) + P (\textcolor{red}{RR})  + P(\textcolor{red}{R} \textcolor{blue}{B}) + P (\textcolor{blue}{B} \textcolor{red}{R})$

$P (E) = 0,15 + 0,15 + 0,09 + 0,06 + 0,06 = 0,51 = 51 \%$

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim viermaligen Werfen einer Münze immer die Zahl oben liegt?

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Um die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses eines mehrstufigen Zufallsexperiments zu berechnen, wendet man die ... an.

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Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse stehen auf den sogenannten ... des Baumdiagramms.

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