Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen berechnen
Beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten kann man schnell den Überblick verlieren. Mithilfe eines Baumdiagramms kannst du die Wahrscheinlichkeiten von Wahrscheinlichkeitsversuchen ordnen und somit einfacher berechnen. Ein Baumdiagramm gibt die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bzw. Ausgänge eines Wahrscheinlichkeitsexperiments an. Der große Vorteil solcher Baumdiagramme ist, dass du auch mehrstufige Experimente übersichtlich darstellen kannst.
Einfache Baumdiagramme
Ein gutes Beispiel für ein einfaches Baumdiagramm lässt sich leicht mithilfe des Münzwurf-Versuchs darstellen. Jedes mögliche Ereignis dieses Zufallsversuchs besitzt eine Wahrscheinlichkeit von $50 \%$.
Die sogenannten Äste des Baumdiagramms führen zu den beiden Möglichkeiten Kopf oder Zahl. Auf diesen Ästen steht jeweils die Wahrscheinlichkeit in der Dezimalschreibweise - in diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit bei beiden möglichen Ergebnissen $0,5$.
Nachdem du die Münze einmal geworfen hast, besteht beim zweiten Wurf für jedes Ergebnis, also Kopf oder Zahl, jeweils wieder eine 50%ige Wahrscheinlichkeit. Man schreibt diese zwei neuen Möglichkeiten einfach an jedes Ereignis, dass sich aus dem ersten Wurf ergeben hat, heran.
Merke
Mithilfe eines Baumdiagramms kannst du die Wahrscheinlichkeiten bei ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten übersichtlich darstellen.
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Größere Baumdiagramme erstellen
Ergeben sich bei einem Wahrscheinlichkeitsversuch mehr als zwei Möglichkeiten, die dann auch noch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen, müssen wir ein größeres Baumdiagramm zeichnen, als es noch beim Münzwurf der Fall war.
Betrachten wir ein Beispiel:
Beispiel
Folgendes Glücksrad wird zweimal hintereinander gedreht. Erstelle ein entsprechendes Baumdiagramm, um die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen zu können.
Das entsprechende Baumdiagramm zu dieser Aufgabe sieht folgendermaßen aus:
Wahrscheinlichkeiten berechnen
In der Abbildung erkennst du außerdem, wie die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationsmöglichkeiten berechnet werden. Dazu musst du einfach die Wahrscheinlichkeiten auf den entsprechenden Pfaden multiplizieren. Dies nennt man auch die Produktregel.
Merke
Produktregel
Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.
Beispiel
Wir möchten die Wahrscheinlichkeit für die Möglichkeit berechnen, beim ersten Drehen auf einem grünen und beim zweiten Drehen auf einem blauen Feld zu landen. Dazu schauen wir uns den entsprechenden Pfad an:
Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "grünes Feld, blaues Feld" zu errechnen, musst du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
$P (\textcolor{green}{G} \textcolor{blue}{B}) = P(\textcolor{green}{G}) \cdot P(\textcolor{blue}{B})$
$P (\textcolor{green}{G} \textcolor{blue}{B}) = \textcolor{green}{0,5} \cdot \textcolor{blue}{0,2} = 0,1 = 10 \%$
Neben der Produktregel musst du ein weiteres Rechengesetz zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen kennen: die Summenregel.
Merke
Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit einer Ereignismenge von zwei oder mehreren Ereignissen errechnet sich, indem die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse addiert werden.
Beispiel
Möchten wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mindestens einmal die rote Kugel gezogen wird, müssen wir alle Einzelwahrscheinlichkeiten der Kombinationen, in denen das rote Feld vorkommt, addieren.
$P (E) = P(\textcolor{green}{G} \textcolor{red}{R}) + P (\textcolor{red}{R} \textcolor{green}{G}) + P (\textcolor{red}{RR}) + P(\textcolor{red}{R} \textcolor{blue}{B}) + P (\textcolor{blue}{B} \textcolor{red}{R})$
$P (E) = 0,15 + 0,15 + 0,09 + 0,06 + 0,06 = 0,51 = 51 \%$
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