Wahrscheinlichkeiten berechnen - Formel und Übungen
Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie schon aus dem Namen ablesbar, extrem wichtig. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Wert, der angibt wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ereignis ist. Sehr oft beschäftigt uns die Wahrscheinlichkeit, wenn wir es mit sogenannten Zufallsexperimenten zu tun haben.
In diesem Lerntext schauen wir uns an, nach welcher grundlegenden Formel Wahrscheinlichkeiten (von Zufallsversuchen) berechnet werden.
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Was sind Wahrscheinlichkeiten?
Beispiel
In einer Dose befinden sich viele verschiedenfarbige Kugeln. Ziehen wir nun eine dieser Kugeln zufällig heraus, existieren genau so viele Möglichkeiten, eine bestimmte Kugel zu ziehen, wie es Kugeln in der Dose gibt. Jede der Kugeln ist ein mögliches Ergebnis dieses Zufallsversuchs, die Chance für jedes dieser Ergebnisse ist gleich. Statt von Chance spricht man in der Mathematik von Wahrscheinlichkeit.
Würde sich nur eine Kugel in der Dose befinden, gäbe es auch nur ein mögliches Ergebnis, dass zu $100 \%$ eintreten würde.
Befinden sich in der Dose jedoch fünf Kugeln, existieren fünf mögliche Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Die $100 \%$ werden also auf fünf mögliche Ergebnisse verteilt. Die Wahrscheinlichkeit für jedes der fünf Ergebnisse lautet deshalb:
$100 \% ~:~ 5~=~ 20 \% ~=~ 0,2 ~=~ \frac{1}{5}$
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Merke
Bei einem Zufallsversuch existieren je nach Anzahl der Objekte verschieden viele Ergebnisse.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist $100 \%$ ($~=~ 1$).
Sind alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich, so gilt für die Wahrscheinlichkeit eines dieser Ergebnisse:
$\Large{\frac{1}{Anzahl~aller~möglichen~Ergebnisse}}$
In der allgemeinen Form schreibt man für die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse ein $n$. Für die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gilt also $\frac{1}{n}$.
Bedenke, dass du die Wahrscheinlichkeit als Prozentangabe, Bruch oder Dezimalzahl angeben kannst.
Beispielrechnungen
Beispiel
Wenn man eine Münze wirft, können zwei mögliche Ergebnisse eintreten: Wappen oder Zahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Ergebnisse?
Wir betrachten eins von zwei möglichen Ergebnissen. Für die Wahrscheinlichkeit eines dieser Ergebnisse gilt:
$\frac{1}{2} ~=~ 0,5 ~=~ 50 \%$
Beispiel
Werfen wir einen sechsseitigen Würfel, existieren sechs mögliche Ergebnisse. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Ergebnisse?
Wir betrachten eins von sechs möglichen Ergebnissen. Für die Wahrscheinlichkeit eines dieser Ergebnisse gilt:
$\frac{1}{6} ~=~ 0,1667 ~=~ 16,67\%$
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